- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
3.8 Загальне поняття міри
Нехай (X) деяка -алгебра підмножин множини X. Дійсна функція множини називається мірою, якщо вона визначена на (X), приймає невід’ємні значення і -адитивна, тобто
1. (X).
2. .
3. до будь-якої скінченної або зчисленної системи множин (X).
Пара (X, (X)) називається вимірним простором, а трійка (X, (X),), де міра визначена на -алгебрі (X), називається простором з мірою. Зокрема, якщо міра нормована умовою , то трійка (X, (X),) називається ймовірнісним простором, а елементи -алгебри (X) подіями.
Глава iy
ВИМІРНІ ЗА ЛЕБЕГОМ ФУНКЦІЇ
-
Означення вимірної функції.
Означення 4.1.1 Функцією заданою на множені називається правило або закон по якому кожному елементу поставлено у відповідність число .
Це відоме означення функції. Доповнимо його – будемо надалі вважати, що функція може приймати і нескінченні значення і . Це можливо мотивувати наступним прикладом. Нехай частинні суми функціонального ряду в точці прямують до , якщо . Логічно визначити, що сума цього ряду в точці дорівнює , тобто .
При цьому правила дії над цими «невласними» числами і звичайними числами визначаються так, щоб операція суми і добутку були комутативні і асоціативні. При цьому сума і різниця нескінченнності і звичайного числа дорівнює нескінченності того же знаку, добуток нескінченності на число, що не дорівнює нулю, а також добуток нескінченності на нескінченність, дорівнює нескінченності, знак якої визначається як і до добутку чисел, добуток нескінченності на нуль є нуль. Частка довільного числа і нескінченності є нуль. Сума нескінченностей одного знаку дорівнює нескінченності того же знаку. Різниця нескінченностей різних знаків є нескінченність зі знаком зменшуваного.
Не мають сенсу сума нескінченностей різних знаків, різниця нескінченностей одного знаку, частка нескінченностей.
Надалі вважаємо, що функція задана на вимірній множині , що належить деякій -алгебри вимірних множин, можливо, ради простоти можливо уважати, що вимірна за Лебегом обмежена підмножина . При цьому будемо уважати, що якщо на -алгебри введена міра, то вона задовольняє наступну вимогу: будь-яка підмножина множини , міра якої дрівнює нулю, є вимірною і міра її теж нуль. Множини вимірні за Лебегом задовольняють цю вимогу.
Введемо позначення: , де довільне дійсне число. Аналогічно визначаються множини ,
і .
Означення 4.1.2. Функція , що задана на вимірній множені називається вимірною, якщо для будь-якого вимірна множина .
Теорема 4.1.1 (Критерій вимірності). Для того щоб функція була вимірною необхідно і достатньо щоб для будь-якого вимірними були множини , , .
Доведення. Нехай функція вимірна. Зобразимо множину у вигляді
.
Дійсно, якщо , то для будь-якого : і слід елемент належить провій частині. Навпаки, якщо елемент належить провій частині, то . Спрямувавши в , одержимо , слід елемент належить лівій частині. Оскільки множини вимірні, то і множина вимірна.
Вимірність множин , випливає із рівностей:
, .
Нехай для будь-якого вимірна множина . Множину можливо зобразити у вигляді
.
Дійсно, якщо , то знайдеться натуральне число таке, що і слід елемент належить провій частині. Навпаки, якщо елемент належить провій частині, то знайдеться натуральне число таке, що . А тоді і отже елемент належить лівій частині. Оскільки множини вимірні, то і множина вимірна.
Нехай для будь-якого вимірна множина . Тоді вимірне доповнення до множини , тобто вимірна множина . Якщо вимірна для будь-якого множина , то вимірне доповнення цієї множини до множини , тобто вимірна множина .
Теорема доведена.