- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
3.1. Зчислені множини та їх властивості
Означення 1.3.1. Множини А називається зчисленною, або множиною зчисленної потужності, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел . Зчисленну потужність множини будемо позначати літерою . Тобто запис означає, що множини А зчисленна.
Теорема 1.3.1 (Критерій зчисленості множини). Щоб множина А була зчисленною, необхідно і досить, щоб її можно було зображити у вигляді послідовності:
Доведення. Необхідність. Нехай . Елемент множини , що відповідає натуральному числу позначимо через . Тим самим визначено загальний член послідовності. Отже :
Достатність. Нехай де всі елементи послідовності різні. Кожному елементу поставимо у відповідність його номер . Оскільки різні елементи мають різні номери і кожне натуральне число відповідає елементу , то множина .
Загальні властивості потужності множин.
1. Будь яка нескінченна множина А має потужність не меншу зчисленної потужності, тобто .
Доведення. Виберемо будь який елемент в множині А і позначимо його через . Оскільки різниця теж нескінченна, виберемо із неї будь який елемент і позначимо його через . Припустимо, що вже вибрано елементи , , …, . Різниця нескінченна. Тому із неї можливо вибрати елемент , де m довільне натуральне число. Отже з множини А виділина підмножина зчисленної потужності. А це означає, що .
2. Об’єднання зчисленної множини і скінченної множини еквівалентно множині А, отже зчисленна множина.
Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини , а потім будемо виписувати елементи множини А , пропускаючи ті елементи, що належать також множині . Множина буде зображена у вигляді послідовності, отже вона скінченна.
3. Об’єднання нескінченної множини А і скінченної або зчисленної множини В еквівалентно множині А.
Доведення. Виділимо з множини зчислену підмножину і нехай D – різниця множин і А . Тоді і . Оскільки і , то внаслідок властивості 3 еквівалентних множин .
4. Якщо різниця множини і скінченної або зчисленної множини В – нескінченна, то різниця А \ В еквівалентна множині А.
Доведення. Перетин скінченна або зчисленна множина. Отже, за попередньої властивістю внаслідок рівності одержимо властивість 4.
5. Об’єднання зчисленної множини скінченних множин зчисленна або скінченна множина.
Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини , а потім будемо виписувати елементи множин, пропускаючи ті елементи, що уже вибрані. Множина буде зображена у вигляді рядка або послідовності, отже вона скінченна або зчисленна.
6. Об’єднання скінченної множини зчисленних множин зчисленна множина.
Доведення. Кожну множину зобразимо у вигляді послідовності , а потім будемо виписувати елементи множин в рядок спочатку з нижнім індексом равним одиниці, потім равним 2 і так далі, пропускаючи ті елементи, що уже вибрані.
7. Об’єднання зчисленної множини зчисленних множин зчисленна множина.
Доведення. Множину зобразимо у вигляді послідовності . Першим в рядок поставимо елемент, а потім запишемо елементи у яких сума верхнього і нижнього індексів дорівнює трьом, чотирьом і так далі. При цьому будемо виписувати елементи множин , пропускаючи ті елементи, що уже вибрані. Множина буде зображена у вигляді послідовності, отже вона зчисленна.
8. Якщо елементи множини А визначаються m значками, тобто , кожен з яких приймає зчисленну кількість значень , то А зчисленна.
Доведення. Застосуємо метод математично індукції. Якщо елементи множини визначаються одним значком, значення якого , то множину А можливо зобразити у вигляді . Отже А зчисленна. Нехай властивість 8 має місце для k індексів (). Розглянемо множину і її підмножину елементів, у яких k+1 індекс має фіксоване довільне значення . В силу припущення, кожна множина зчисленна, а тоді зчисленна множина А тому, що . Отже, за принципом математичної індукції властивість 8 має місце для будь якого m.
Приклади зчисленних множин.
-
Множина усіх натуральних чисел зчисленна, тому що .
2. Будь-яка нескінченна підмножина натуральних чисел зчисленна, тому що її можливо зобразити у вигляді .
3. Множина усіх додатних раціональних чисел зчисленна. можливо зобразити у вигляді =, де множина раціональних чисел вигляду . Оскільки кожна множина зчисленна, то завдяки властивості 7 множина є зчисленною.
4. Множина усіх від’ємних раціональних чисел зчисленна, оскільки .
5. Множина усіх раціональних чисел зчисленна, завдяки тому, що
6. Множина A={ усіх точек к-вимірного евклідового простору , координати яких раціональні числа, зчисленна.
Дійсно елементи множини A визначаються значками (координатами точки), кожен з яких приймає зчисленну множину значень. Отже, внаслідок властивості 8, множина A зчисленна.
7. Множина всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище n з раціональними коефіцієнтами зчисленна.
Дійсно кожен елемент множини визначається раціональними коефіцієнтами: . Отже, завдяки властивості 8, множина зчисленна.
8. Множина всіх алгебраїчних многочленів з раціональними коефіцієнтами зчисленна.
Множину можливо зобразити у вигляді . Тому, завдяки властивості 7, множина зчисленна.
9. Множина всіх алгебраїчних чисел зчисленна.
Позначимо через множину алгебраїчних чисел, що відповідають алгебраїчному многочлену з раціональними коефіцієнтами, тобто множину розв’язків рівняння = 0. Множина для кожного многочлена має не більше n елементів. Оскільки , то внаслідок властивості 5, скінченна або зчисленна. Але множина не може бути скінченною, бо вона містить усі раціональні числа.