- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
5.1 Існування потужності більшої, ніж с
Теорема 1.5.1. Нехай довільна множина і множина усіх підмножин множини . Тоді потужність множина менша за потужність множини , тобто .
Доведення. Покажимо спочатку, що . Позначимо літерою множину усіх одноелементних підмножин множини , тобто . Кожному елементу множини поставимо у відповідність елемент . Очевидно, що ця відповідність взаємно однозначна.
Тепер доведемо, що не еквівалентна множині . Припустимо протилежне, що і нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Кожен елемент або належить множині , або не належить. Наприклад, порожня множина не містить елемента, якому вона відповідає, тому що вона взагалі не містить елементів, а підмножина, яка збігається з множиною , очевидно містить елемент, якому вона відповідає. Розглянемо множину і нехай елемент, якому відповідає підмножина , тобто . Одержимо суперечність, тому що елемент не може належати , тому що в зібрано усі елементи, які не належать своєму образу, а з іншого боку він повинен там бути.
Застосування теореми Бернштейна
Теорема 1.5.2. Множина усіх неперервних функцій на відрізку має потужність континууму.
Доведення. Нехай , підмножина множини , яка визначається одним індексом – числом , що приймає континуум значень. Отже має потужність континууму і можно записати , де − множинаусіх послідовностей дійсних чисел.
З іншого боку, кожної функції поставимо у відповідність послідовність , де множина усіх раціональних чисел відрізку . Множину усіх таких послідовностей позначимо через . Завдяки тому, що кожна неперервна функція однозначно визначається послідовністю , указана відповідність є взаємно однозначною між множиною і , отже . Таким чином виконуються умови теореми Бернштейна, застосовуючи яку, одержимо . Оскільки множина має потужність континууму (див. властивість 6), то .
Задачі.
1. Довести, що множина всіх підмножин множини натуральних чисел є множиною потужності континууму.
2. Довести, що множина всіх підмножин будь-якої зчисленної множини є множиною потужності континууму.
3. Довести, що множина всіх дійсних функцій, заданих на сегменті , має потужність більшу, ніж континуум.
Глава II
ВІДКРИТІ І ЗАМКНЕНІ МНОЖИНИ В
Означення 2.1.1 Точка називається граничною точкою множини , якщо у будь-якому околу точки знайдеться хоча б одна точка множина , що відрізняється від точки .
Теорема 2.1.1. Для того щоб точкабула граничною точкою множини , необхідно і достатньо щоб у будь-якому околу точки знаходилась нескінченна множина точок з .
Доведення. Достатність очевидна, необхідність доведемо від противного. Нехай точка є граничною точкою множини , і в деякому околу точки знаходиться скінченна множина точок з , що відрізняється від точки . Нехай відстань від точки до і . Тоді в околу радіуса ні буде не одної точка множини , що відрізняється від точки , а це суперечить тому, що точка гранична. Одержана суперечність спростовує припущення.
Теорема 2.1.2. Для того щоб точка була граничною точкою множини , необхідно і достатньо щоб знайшлась послідовність різних точок з множини , що збігається до точки .
Доведення. Достатність очевидна, доведемо необхідність. Нехай точка є граничною точкою множини і послідовність околів радіусу . Виберемо довільну точку в околу , в околу , і так далі виберемо точку , яка відрізняється від попередніх и точки , і так далі. Оскільки , то послідовність точок прямує до .
Зауваження. Гранична точка множини може належати або не належати множині . Наприклад, граничними точками півінтервала є точки сегмента .
Означення 2.1.2 Множина називається замкненою, якщо вона містить усі свої граничні точки. Далі замкнену множину будемо позначати буквою .
Приклади замкнених множин: сегмент , будь-яка скінченна множина, множина усіх натуральних чисел , множина усіх цілих чисел .
Означення 2.1.3 Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо вона належить разом з деяким околом.
Означення 2.1.4 Множина називається відкритою, якщо кожна точка множини внутрішня.
Приклади відкритих множин: інтервал , об'єднання інтервалів.
Означення 2.1.5 Точка називається ізольованою точкою, якщо існує окіл точки , який не містить точок множина, крім точки .
Означення 2.1.6 Замкнена множина називається досконалою, якщо кожна точка множини є граничною точкою цієї множини, тобто у множини немає ізольованих точок.