- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
Означення 3.3.1 Нехай довільна обмежена множина з . Число
, (3.3.1)
де точна нижня межа береться по усім скінченним або зчисленним об’єднанням елементарних множин , називається зовнішньою мірою обмеженої множини .
Властивості зовнішній міри.
1. Зовнішня міра невід’ємна.
2. Зовнішня міра елементарної множини збігається з , тобто .
Доведення. Якщо , то в силу властивості 2 міри елементарних множин, і слід . З іншого боку тому, що входить в множину по якої обчислюється точна нижня межа.
3. Якщо обмежена множина , то .
Ця властивість випливає з означення зовнішньої міри і називається монотонністю.
-
Якщо обмежена множина , де скінченна, або зчисленна сім’я множин, то .
Доведення. В силу властивості точної нижньої межі для кожної множини і довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що і . Тоді і
.
Спрямувавши до нуля, одержимо указану властивість.
-
Для будь-яких обмежених множин імає місце нерівність
. (3.3.2)
Доведення. Використовавши співвідношення і попередню властивість, одержимо . Помінявши місцями і одержимо і отже маємо (3.3.2).
3.4 Поняття вимірної множини
Означення 3.4.1 Обмежена множина називається вимірною, якщо для довільного числа знайдеться елементарна множина така, що
.
Якщо множина вимірна, то її мірою називається . Міра позначається символом і називається мірою Лебега.
Із означення вимірної множини випливає, що будь-яка елементарна множина вимірна і у сенсі останнього означення і .
Властивості вимірних множин.
1. Якщо множина вимірна, то вимірне доповнення множина до відрізка .
Доведення випливає з рівності
.
2. Об’єднання скінченної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.
Доведення. Розглянемо спочатку дві множини і. Для будь-якого числа знайдуться елементарні множини і такі, що
і .
Так як об’єднання скінченної множини елементарних множин є елементарна множина, то, використовуючи включення
і властивості 3,4 зовнішньої міри, одержимо.
.
Припустивши вимірність об’єднання вимірних множин , в силу рівності одержимо вимірність множини . Завдяки принципу математичної індукції вимірною буде скінченне об’єднання вимірних множин.
3. Перетин скінченної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.
Доведення і в цьому випадку достатньо провести для двох множин і . Розглянемо доповнення множини до інтервалу . Внаслідок двоїстості операцій об’єднання і перетину
.
За властивостю 1 доданки у правій частині вимірні, і завдяки властивості 2 вимірна права частина, а тоді за властивістю 1 вимірна множина тому, що
4. Різниця вимірних множин є множина вимірна.
Доведення. Нехай інтервал . Тоді і отже, внаслідок властивостей 1 і 3, різниця – вимірна.
5. Симетрична різниця вимірних множин і є множина вимірна.
Ця властивість випливає з останньої властивості, властивості 2 і рівності
.
6. Адитивність міри. Міра об’єднання скінченної сім’ї вимірних попарно неперетинних множин , дорівнюю сумі мір, тобто .
Доведення. Спочатку розглянемо дві множини і загальний випадок легко одержимо методом математичної індукції. Перш за все, використовуючи властивість 4 зовнішньої міри, одержимо
(3.4.1)
За означенням вимірності, для будь-якого числа знайдемо елементарні множини і такі, що
і . (3.4.2)
Надалі значок, що позначає зовнішню міру, будемо опускати тому, що усі множини вимірні. Розглянемо наступні співвідношення і нерівності. Оскільки множини і не перетинаються, то
і, тим більше,
.
А тоді, внаслідок (3.4.2)
(3.4.3)
З властивості 5 зовнішньої міри (див. нерівність (3.3.2)) випливає, що
, (3.4.4)
, (3.4.5)
і, аналогічно, використовуючи включення
,
одержимо
. (3.4.6)
Завдяки адитивності міри елементарних множин (див. наслідок 3)
. (3.4.7)
Застосуємо спочатку нерівність (3.4.6), потім рівність (3.4.7) і на кінець нерівності (3.4.3 – 3.4.5)
.
В силу довільності одержимо нерівність
,
що разом з (3.4.1) дає необхідну рівність.
Припустимо тепер, що властивість має місце для вимірних попарно неперетинних множин тобто
.
Розглянемо далі вимірних попарно неперетинних множин . Тоді, внаслідок властивості для двох множин і припущення одержимо
.
За принципом математичної індукції, адитивність має місце до будь-якої кількості вимірних попарно неперетинних множин .
Наслідок 1. Якщо і вимірні множини і , то
.
Доведення аналогічно доведенню такої ж властивості міри елементарних множин.
Наслідок 2. Якщо і вимірні множини, то
. (3.4.8)
Доведення. Зобразимо об’єднання множин і у вигляді
Множини і не перетинаються, тому на підставі властивості 6
і наслідку 1, маємо
.
Рівність (3.4.8) у теорії ймовірностей називається теоремою додавання.
Наслідок 3. Якщо і довільні обмежені множини, то
. (3.4.9)
Доведення. В силу властивості точної нижньої межі для кожної з множин і та довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що
і .
Тоді на підставі наслідку 2
.
Спрямувавши до нуля, одержимо (3.4.9).
7. Обмежено об’єднання зчисленної сім’ї вимірних попарно неперетинних множин є множина вимірна.
Доведення. Нехай . Тоді, в силу адитивності міри і обмеженості множини : . Отже ряд збігається. Тоді для довільного числа знайдеться натуральне число таке, що . Внаслідок властивості 4 зовнішньої міри, одержимо
(3.4.10)
Оскільки множина вимірна, то існує елементарна множина така, що
. (3.4.11)
Тоді з нерівностей (3.4.10 – 3.4.11) і співвідношення
випливає . Одже множина є вимірною.
8. Обмежено об’єднання зчисленної сім’ї вимірних множин є вимірна множина.
Доведення. Нехай і . Множини попарно не перетинаються, вимірні і, як легко перевірити, . Отже, внаслідок попередньої властивості, вимірна множина.
Наслідок 4. Якщо виконуються умови властивості 8, то .
Доведення. .
9. Перетин зчисленної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.
Доведення. Нехай і інтервал . Тоді і, внаслідок властивості 6, множина вимірна, одже множина є вимірною.
10. Міра обмеженого об’єднання зчисленної сім’ї вимірних попарно неперетинних множин множин дорівнює сумі мір.
Доведення. Нехай . Тоді з одного боку, в силу властивості зовнішньої міри,
,
а з іншого
Отже
.
11. Нехай вимірні множини такі, що Тоді
.
Доведення. Внаслідок монотонності послідовності множин, множини попарно неперетинні і виконується рівність
.
Використовуючи попередню властивість і наслідок з властивості 6, одержимо
.
12. Нехай вимірні множини такі, що Тоді
.
Доведення. Внаслідок монотонності послідовності множин, множини задовольняють умову попередньої властивості. Отже
.
Внаслідок співвідношень двоїстості одержимо
.
13. Нехай множини такі, що Тоді
. (3.4.12)
Доведення. Внаслідок обмеженості і монотонності послідовності множин і монотонності зовнішньої міри існує і
. (3.4.13)
Щоб довести протилежну нерівність, для кожної множини і довільного числа знайдемо скінченну, або зчисленну систему елементарних множин таких, що і . Нехай . Очевидно, що і . Використовуючи вимірність множин і властивість 11, одержимо
.
Завдяки довільності числа , маємо
,
Що разом з (3.4.13) дає рівність (3.4.12).
Захід, за допомогою якого визначена міра Лебега на множинах, більш загальних за елементарні множина, називається продовженням міри за Лебегом.