- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
Означення 5.5.1. Нехай вимірна множина нескінченної міри, наприклад, множина усіх дійсних чисел , або проміні . Послідовність вимірних обмежених множин називається вичерпною, якщо вона монотонно зростає, тобто , і .
Означення 5.5.2. Вимірна функція , що задана на вимірній множині нескінченної міри, називається інтегровною за Лебегом на множині , якщо для довільної вичерпної послідовності множин існує скінченна границя
, (5.5.1)
яка не залежить від вибору послідовності множин . Інтегралом від функції називається
(5.5.2)
Покажемо, що границя (5.5.2) існує і скінченна, якщо виконується (5.5.1). Нехай , тоді
,
коли .
Теорема 5.5.1. Якщо існує невласний інтеграл Рімана від функції , що задана на осі, або проміні, то існує інтеграл Лебега і вони збігаються.
Доведення. Розглянемо випадок, коли функція визначена на осі, інший випадок аналогічний. Нехай існує невласний інтеграл Рімана
і довільна вичерпна послідовність множин. Для довільного числа знайдеться число таке, що
. (5.5.3)
Введемо множини . Послідовність множин не спадає і . На підставі властивості 11 вимірних множин . Тоді знайдеться натуральне число таке, що для усіх виконується нерівність , де число , у відповідності з абсолютно неперервністю інтеграла Лебега, вибрано так, для що , міра якої , має місце нерівність
. (5.5.4)
Із (5.5.3) – (5.5.4) для усіх випливають нерівності
. (5.5.5)
З іншого боку, нехай
Послідовність функцій монотонна, збігається у кожній точці до функції , отже на підставі теореми Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла, маємо
(5.5.6)
Із нерівностей (5.5.5) – (5.5.6) слідує існування скінченної границі (5.5.1) і рівність .
Нехай , де довільна вичерпна послідовність. Очевидно, що існують скінченні границі
і тоді .
Теорема доведена.
Зауваження 5.5.1. Із доведення теореми 5.5.1 випливає, що в означенні 5.5.2, у випадку інтегрованості функції на осі, або проміні, достатньо брати вичерпну послідовність множин .