- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
3.7. Поняття вимірної множини в
Означення 3.7.1. Паралелепіпедом в просторі будемо називати множину точок , координати яких задовольняють умови:
¥ Ŧ , де символи ¥, Ŧ незалежно один від одного приймають значення < або , і .
Зокрема умови , визначають звичайний паралелепіпед, а умови , відкритий паралелепіпед.
Очевидно, що перетин паралелепіпедів є паралелепіпед, умова , визначає порожню множину, різницю двох паралелепіпедів можливо зобразити як об’єднання скінченної множини неперетинних паралелепіпедів, отже множина усіх паралелепіпедів є півкільце.
Означення 3.7.2. Елементарними множинами в будемо називати будь-ялі скінченні об’єднання попарно неперетинних паралелепіпедів. Зокрема, будь-який паралелепіпед – елементарна множина.
Отже будь-яка елементарна множина має вигляд , де може бути довільним натуральним числом і паралелепіпеди попарно не перетинаються.
Означення 3.7.3. Мірою будь якого паралелепіпеду називається його об’єм. Позначається міра символом .
Тобто незалежно від того, чи буде паралелепіпеду замкнутим, або відкритим, або не містить деякі свої грані . Зокрема, міра паралелепіпеду меншої вимірності і міра порожньої множини дорівнює нулю.
Означення 3.7.4. Мірою будь якої елементарної множини називається сума об’ємів паралелепіпедів , тобто .
Властивості міри елементарних множин такі, як і в одномірному випадку. Тому і продовження міри за Лебегом здійснюється аналогічно.
В загалі, якщо визначена міра на деякому півкільці , розглядається кільце усіх скінченних об’єднаннь , де і продовжується міра спочатку на кільце , а потім і на більш широке кільце вимірних множин.
Узагальнення поняття вимірності в
Нехай деяка неспадаюча неперервна зліва функція, що задана на сегменті . Покладемо , , , . Маючи міру на будь-якому відрізку, визначимо спочатку міру до будь-якої елементарної множини , а потім користуючись її адитивністю продовжимо за Лебегом на більш широку -алгебру вимірних множин. Цю міру називають мірою Лебега-Стільтьєса і позначають символом . У випадку, коли , вона збігається з мірою Лебега.
Можливі наступні три випадки.
1. Дискретна міра. В цьому випадку функція кусково-стала. Тобто існує скінченна множина точок таких, що . Міра будь-якого відрізку дорівнює . Можливо розглянути функцію , що має зчисленну множину точок розриву.
2. Абсолютно неперервна міра. Вона визначається функцією такою, що , якщо міра Лебега множини дорівнює нулю. Ця міра визначається так званими абсолютно неперервними функціями, які будемо розглядати пізніше.
3. Сингулярна міра. В цьому випадку міра будь-якої скінченної множини дорівнює нулю, проте існує множина така, що міра Лебега множини дорівнює нулю а .
Приведемо приклад такої міри. Розглянемо інтервали , що є складовими інтервалами канторової відкритої множини . Відомо, що , де , . Будь-яка точка канторової замкнутої множини має вигляд , де . Значок означає, що подано у трійковий системи числення. Для будь-якого визначимо , де значок означає, що цій дріб подано у двійковий системи числення. У лівому кінці інтервалуфункціяприймає значення: , а у правому теж саме значення: . Визначимо функцію на кожному інтервалі рівною спільному значенню її на кінцях інтервалу. Властивості функції .
1.
2. Функція не спадає на сегменті . Дійсно, якщо , то , де довільне натуральне число. Отже, .
3. Функція неперервна на сегменті . Припустимо, що це так. Тоді знайдеться точка така, що . Тоді, внаслідок того, що функція не спадає, будь-яке число функціяне приймає. Запишемо його у двійковий системі числення: . Тоді функція у точці , де приймає значення . Одержана суперечність спростовує припущення.
Покажемо, що функція породжує сингулярну міру. Перш за все, в силу неперервності у кожній точки , . Отже, завдяки адитивності міри , міра будь-якої скінченної або зчисленної множини дорівнює нулю. Очевидно також, що , а = 0 тому, що , бо функція на кінцях кожного інтервалу приймає рівні значення. Нагадаємо, що звичайна міра Лебега .
Функція називається канторової сингулярною функцією. Пізніше цю функцію будемо розглядати у зв’язку з іншими задачами.
Зауважимо, що в загальному випадку міра може визначатися як сума розглянутих мір.