- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
Нехай обмежена функція, визначена на сегменті , тобто
, (5.4.1)
і послідовність наборів точок сегменту таких, що. Покладемо , і визначимо дві послідовності простих функцій:
, . Із означення функцій , і (5.4.1) випливає
. (5.4.2)
Отже, функції , прості і обмежені і слід інтегровні за Лебегом:
, ,
де відповідно нижня і верхня суми Дарбу функції . Оскільки при умові виконуються нерівності , то послідовність функцій не спадає, а послідовність функцій не зростає. Отже для послідовностей функцій і виконуються умови теореми Леві, за якою існують майже скрізь границі і , функції і інтегровні за Лебегом на сегменті і
, (5.4.3)
. (5.4.4)
Окрім того, із нерівностей (5.4.2) випливає, що для функцій і мають місце нерівності
. (5.4.5)
Із (5.4.3) – (5.4.5) одержимо
. (5.4.6)
Теорема 5.4.1 Для того щоб функція була інтегровною за Ріманом необхідно і досить, щоб майже скрізь на сегменті для будь-якої послідовності такої, що , коли і в цьому випадку функція інтегровна за Лебегом і інтеграл Рімана збігається з інтегралом Лебега:
.
Достатність. Нехай . Тоді, внаслідок (5.4.6), інтеграл в (5.4.6) дорівнює нулю і . Отже функція інтегровна за Ріманом.
Необхідність. Нехай функція інтегровна за Ріманом. Тоді для будь-якої послідовності такої, що , права частина в (5.4.6) дорівнює нулю. На підставі наслідку 5.2.2 (з нерівності Чебишева) різниця майже скрізь дорівнює нулю. А тоді із нерівностей (5.4.5) випливає еквівалентність функції функціям і. Отже, функція інтегровна за Лебегом і, в силу (5.4.3) або (5.4.4), інтеграл Рімана збігається з інтегралом Лебега.
Теорема 5.4.2 (Теорема Лебега). Для того щоб обмежена функція була інтегровною за Ріманом на сегменті , необхідно і досить, щоб була майже скрізь неперервною на сегменті .
Достатність. Нехай майже скрізь неперервна на сегменті і множина точок розриву. Візьмемо будь-яку послідовність точок розбиття таку, що і нехай . Множина зчисленна, тому має міру нуль. Покажемо, що у кожній точці має місце рівність . Візьмемо довільне число . Внаслідок неперервності функції в точці існує таке, що , якщо . Оскільки , то знайдеться натуральне число таке, що для усіх сегменти , що містять точку , будуть міститься в інтервалі . Тоді, для усіх різниця , тобто майже скрізь. За теоремою 5.4.1 функція інтегровна за Ріманом.
Необхідність. Нехай функція інтегровна за Ріманом. За теоремою 5.4.1 і, в силу (5.4.5), майже скрізь. Позначимо через множину точок сегмента , де . Візьмемо будь-яку послідовність точок розбиття сегмента таку, що і нехай . Множина має міру нуль. Покажемо, що у кожній точці функція неперервна. Візьмемо довільне число . В силу збіжності послідовностей функцій і відповідно до функцій і знайдеться натуральне число таке, що для усіх виконуються нерівності
,
із яких випливає нерівність
(5.4.7)
Візьмемо сегмент , що містить точку . Оскільки не є точкою розбиття, то знайдеться інтервал , що міститься у сегменті . Із означення функцій , і нерівності (5.4.7) маємо
для будь-якого .
Теорема доведена.