- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
Глава y
Інтеграл Лебега
-
5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
Нехай є простою функцією, визначеною на вимірній множині , тобто існує зображення множини у вигляді об’єднання не більш ніж зчисленної множини попарно неперетинних вимірних множин таких, що , якщо . Таке зображення множини називається розбиттям.
Означення 5.1.1. Якщо множин скінченна кількість, то називається інтегровною за Лебегом на множені , а інтеграл Лебега буде сума . Інтеграл позначається символом , тобто
=.
Якщо проста функція приймає нескінченну множину значень, то вона називається інтегровною за Лебегом на множені , якщо збігається ряд і в цьому випадку інтеграл Лебега є сума ряду :
=.
Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
1. Функція інтегровна за Лебегом і .
2. Функція Діріхле, яка визначена на сегменті рівністю
інтегровна за Лебегом на сегменті і .
Зауваження 5.1.1. Цей приклад показує перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана, тому, що, як відомо функція Діріхле не інтегровна за Ріманом.
Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
1. Проста функція, що задана на множині міри нуль, інтегровна за Лебегом і
.
Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Так як , то для будь-якого : і тоді
.
Отже, функція інтегровна за Лебегом на множині і
=.
2. Якщо проста функція обмежена, тобто , то вона інтегровна за Лебегом і
.
Доведення. Обмеженість простої функції означає, що , де значення функції . Тоді . Отже функція інтегровна за Лебегом і
.
Зауваження 5.1.2. Ця властивість теж підкреслює перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана, тому, що, як відомо є обмежені функції (наприклад, функція Діріхле) які не інтегровні за Ріманом.
3. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, . Тоді
(5.1.1)
і якщо суми в (5.1.1) скінченні, то
, (5.1.2)
тобто існування інтеграла і сам інтеграл не залежить від того, як зображена проста функція.
Доведення. Кожну множинуі кожну множинуможливо зобразити у вигляді , . Окрім того, , якщо . Отже
. (5.1.3)
Суму зліва, використовуючи адитивність міри, можливо зобразити у вигляді:
.
Аналогічно, суму справа в (5.1.3) зобразимо у вигляді:
.
З (5.1.3) і одержаних рівностей випливає (5.1.1). Якщо суми в (5.1.1) скінченні, то з аналогічних міркувань випливає рівність (5.1.2) і
= .
4. Якщо проста функція інтегровна за Лебегом на множині , то вона інтегровна за Лебегом на будь-якій вимірній підмножині .
Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді , якщо і . Так як , то
.
Отже інтегровна за Лебегом на множині .
5. Якщо проста функція інтегровна за Лебегом на множині , то для будь-якого числа інтегровна за Лебегом функція і
.
Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді , якщо і
.
Отже функція інтегровна за Лебегом на множині і
.
6. Якщо прості функції і інтегровні за Лебегом на множині , то сума + інтегровна за Лебегом і
.
Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, . Тоді +, якщо , і
Отже функція + інтегровна за Лебегом на множині і
.
Зауваження 5.1.3. Поняття простої на множині A функції пов’язано з розбиттям множини A на не більш ніж зчисленну суму вимірних множин. З доведення попередньої властивості випливає, що якщо і прості функції задані на множині A, то можливо уважати, що розбиття множини A для функцій і одне і теж. Цим зауваженням далі будемо користуватись.
7. Якщо для простих інтегровних за Лебегом на множині функцій і виконується нерівність , то
.
Доведення. Нехай , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , а , якщо . З умови випливає нерівність , і тоді
.
Ця властивість називається монотонністю інтеграла.
8. Якщо для простих на множині функцій і виконується нерівність , і функція інтегровна за Лебегом на множині , то функція інтегровна за Лебегом і
.
Доведення. Нехай , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , а , якщо . З умови випливає нерівність , і
.
Отже функція інтегровна за Лебегом і
.
Наслідок 5.1.1. Нехай є простою функцією на множині , Для того щоб функція була інтегровна за Лебегом на множині , необхідно і досить, щоб була інтегровна функція .
Дійсно, якщо інтегровна за Лебегом на множині , то інтегровність функції випливає з означення інтегровності простої функції. Обернено твердження випливає з попередньої властивості – достатньо взяти .
Зауваження 5.1.4. Відомо, що якщо функція інтегровна за Ріманом, то функція може не бути інтегровною за Ріманом. Отже наслідок 5.1 показує перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана.
9. Якщо для простих на множині функцій і виконується нерівність , де деяке дійсне число, і функція інтегровна за Лебегом на множині , то функція інтегровна за Лебегом.
Доведення. З умови випливає нерівність
і отже нерівність
.
Використовуючи останню нерівність, наслідок 5.1, приклад 1, властивості 6 і 8 інтеграла одержимо властивість 9.
10. Адитивність інтеграла Лебега. Нехай проста функція інтегровна за Лебегом на множені і деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин . Тоді
(5.1.4)
і, якщо справа маємо ряд, то він збігається абсолютно.
Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді, в силу властивості 6, функція інтегровна за Лебегом на кожній множені і
(5.1.5)
Так як проста функція інтегровна за Лебегом на множені , то ряд справа збігається, отже абсолютно збігається ряд .
Рівність (5.1.4) випливає з (5.1.5), якщо в (5.1.5) усюди убрати знак модуля.
11. Нехай деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин і проста функція інтегровна за Лебегом на кожній множені . Якщо збігається ряд
, (5.1.6)
то функція інтегровна за Лебегом на множені .
Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді
і, оскільки , то використовуючи збіжність ряду (5.1.6) одержимо
.
Отже, функція інтегровна за Лебегом на множені .
Теорема 5.1.1. (Критерій вимірності функції в термінах простих функцій). Для того щоб скінченна на множені функція була вимірною необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції .
Доведення. Достатність випливає з теореми 4.1.2 про граничний перехід у класі вимірних функцій. Доведемо необхідність. Для будь-якого натурального розглянемо множини
Оскільки функція вимірна, то множини вимірні і здійснюють розбиття множини . Покладемо , якщо . Функції прості. Оцінимо різницю . Нехай , тоді знайдеться ціле число таке, що і
.
Отже, послідовність простих функцій рівномірно збігається на множені до функції .
Теорема доведена.