- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
Двійкові дроби.
Означення 1.4.2. Двійковим дробом називається сума ряду , де або 1.
Цей ряд збігається, сума його невід’ємна і не перевищує одиниці тому, що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Отже кожному двійковому дробу відповідає число – сума ряду . Двійковий дріб будемо зображати символом і також називати двійковим дробом. Двійковий дріб виду , де , називається двійково-раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу , де m непарне число менше за . Двійково-раціональне число крім зображення (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі якщо ) має зображення .
Теорема 1.4.2. Кожному числу з інтервала (0; 1), що не є двійково-раціональним числом, відповідає єдиний двійковий дріб.
Доведення. Нехай і не є двійково-раціональним числом. Необхідно побудувати для будь-якого і довести, що частинна сума ряду прямує до числа . Визначимо спочатку число . Якщо , покладемо . Тоді і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Припустимо, що визначені числа , такі, що . Знову розглянемо два випадки. Якщо , то покладемо . і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Число не може дорівнювати , тому що не є двійково-раціональним числом. Слід, в силу принципу математичної індукції, визначено для будь-якого натурального і . З останній нерівності випливає .
Теорема доведена.
Означення 1.4.3. Нехай множина всіх двійкових дробів, множина усіх двійкових дробів, зображення яких містить нескінченну множину чисел , що дорівнюють 0, множина всіх двійкових дробів, зображення яких містить одиницю в періоді.
В силу теореми 1.4.2 має потужність континуум, а множина зчисленна, тому що вона нескінченна і є підмножиною множини раціональних чисел. Отже множина потужності континууму.
Приклади важливих множин потужності континууму.
1. Множина всіх зростаючих послідовностей натуральних чисел має потужність континууму.
Доведення. Встановимо взаємно однозначну відповідність між множиною і H. Кожному елементу із множини H поставимо у відповідність двійковий дріб , у якого числа з номерами дорівнюють нулю, а всі інші – одиниці. Різним елементам множини H відповідають різні двійкові дробі і довільна дріб при цьому відповідає послідовності натуральних чисел , для яких .
2. Множина всіх послідовностей натуральних чисел має потужність континууму.
Доведення. Встановимо взаємно однозначну відповідність між множиною і H. Кожному елементу із множини H поставимо у відповідність послідовність . Оскільки послідовність зростає, послідовність є елементом множини . Різним елементам , множини H відповідають різні елементи множини і довільна послідовність із множини відповідає послідовності .
3. Якщо елементи множини А визначаються скінченною або зчисленною множиною значків, тобто або , кожен з яких приймає, незалежно від інших, континуум значень, то А має потужність континууму.
Доведення. В силу транзитивності еквівалентності, можливо вважати, що кожен значок приймає значення з множини усіх послідовностей натуральних чисел. Тоді кожному фіксованому значенню значка відповідає елемент із множини . Поставимо у відповідність елементу (або ) послідовність натуральних чисел, яка визначається наступним чином: перший елемент послідовності, а потім записуємо елементи «пачками» , включаючи в n –ую пачку усі елементи , сума індексів яких дорівнює n і записуючи елементи їх відповідно зростанню верхнього індексу j. Легко бачити, що указана відповідність взаємно однозначна.
4. Множина A={ всіх точек к-вимірного евклідового простору , координати яких приймають континуум значень, є множиною потужності континууму.
Дійсно елементи множини A визначаються значками (координатами точки). Отже, в силу властивості 3 множин потужності континууму, множина A має потужність с.
5. Множина Т всіх послідовностей , де або 1, має потужність с.
Доведення випливає з того, що між множиною Т і множиною всіх двійкових дробів, можливо установити взаємно однозначну відповідність, зважаючи, що елементу Т відповідає двійковий дріб .
6. Множина всіх послідовностей дійсних чисел має потужність континууму.
Дійсно, елементи множини визначаються зчисленною множиною значків – членами послідовності, кожен з яких приймає, незалежно від інших, континуум значень, отже має потужність континууму.