64. Линейное однородное диф-ое ур-ие высших порядков.

Линейный диф-ый оператор

Линейным диф-ым ур-ем n-го порядка называется ур-ие вида:

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y'+a_n(x)y=A(x) (1)

Приведенный вид ур-ия будет такой:

yⁿ+p₁(x)y^(n-1)+...+p_n-1(x)^-1y+p_n(x)y=q(x) (2)

Ур-ие (2) называют линейным неоднородным или ур-ем с правой частью.

Если q(x)=0, то ур-ие принимает вид:

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y'+a_n(x)y=0 (3)

и его называют однородным ур-ем или ур-ем без правой части.

Обозначим левую часть ур-ия через L(y)

L[у]=yⁿ+p₁(x)y^(n-1)+...+p_n-1(x)^-1y+p_n(x)y (4)

Это выражение будем называть линейным диф-ым оператором от ф-ии.

Свойства линейного оператора:

Постоянный множитель можно вынести за знак оператора

L[Cy]=CL[y] (5)

Оператор от суммы дух ф-ий равен сумме операторов от каждого слагаемого в отдельности

L[y₁+y₂]=L[y₁]+L[y₂] (6)

Рассмотрим теоремы о свойствах частных решений линейного однородного диф-го ур-ия

L[y]=0 (7)

Теорема 1

Если ф-ия у₁ является решением ур-ия (3), то м ф-ия су₁ есть решением этого ур-ия

Док-во

Если у удовлетворяет ур-ию (3), то в следствии равенства (7) L[y₁]=0

Принимая во внимание условие однородности получаемй:

L[y₁]=CL[y₁]=0, то L[Cy₁]=0

Что означает, что ф-ия су₁ также удовлетворяет ур-ию (3)

Теорема 2

Если ф-ия у₁ и у₂ являются решением ур-ия и (3), то и ф-ия у₁+у₂ есть решением этого ур-ия.

Теорема 3

Если у₁, у₂,…, у_n частные решения уравнения, то их линейная комбинация у=0 с₁у₁+с₂у₂+…+c_ny_n есть также решением этого ур-ия

65. Линейная зависимость ф-ий. Определитель Вронского и его свойства

Рассмотрим систему ф-ий у₁, у₂,…,у_n, определенных и непрерывных на одном и том же отрезке АВ оси ОХ. Эта система ф-ий называется линейно зависимой на отрезке АВ, если существует n таких чисел α₁, α₂,…,α_n, что выполняется тождество α₁y₁+α₂y₂+...+α_ny_n=0 (1) для любого х на данном отрезке при этом предполагается что α_i ≠ 0 одновременно. Если же такие коэффициенты подобраны, то такая система ф-ий называется линейно независимой.

Если ф-ии системы y₁, y₂,…, y_n диф-мы n-1 раз, то из них можно построить такой определитель:

y₁ y₂ … y_n

y'₁ y'₂ ... y'_n

W= .....................……….. Определитель Вронского

y₁^(n-1) y₂^(n-1) ... y_n^(n-1)

Теорема 1

Если ф-ии у₁, у₂, у₃ образуют линейную зависимость системы ф-ий тогда существуют α₁, α₂, α₃.

α₁y₁+α₂y₂+α₃y₃=0 (2)

Пусть α₃≠0. Развернем равенство, получим

У₃=β₁у₁+β₂у₂ (3), где

β= -α_i/α₃

Составим определитель Вронского

y_1, y₂, y₃ y_1, y₂, β₁y₁+β₂y₂ y_1, y₂, 0

W[y₁; y₂; y₃]= y₁'_, y₂', y₃' = y₁'_, y₂', β₁y₁'+β₂y₂ = y₁'_, y₂', 0 = 0

y₁''_, y₂'', y₃'' y₁''_, y₂'', β₁y₁''+β₂y₂ y₁''_, y₂'' 0

66. Теорема об общем решении линейного дифференциального уравнения. Если функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (6)

То их линейная комбинация (7)

Является общим решением этого уравнения.

Доказательство:

Пусть . Тогда уравнение (6) будет иметь вид:

(8)

и теорема утверждает, что линейная комбинация

(9)

является общим решением уравнения (8).

Из выше доказанной теоремы следует, что функция (9) является решением уравнения (8). Остаётся показать, что можно подобрать значения так, чтобы функция (9) удовлетворяла также любой системе начальный условий.

Пусть задана некоторая система начальный условий:

при (10)

Если функция (9) удовлетворяет первому из этих условий, то Где - значение функции в точке

Дифференцируя уравнение (9), находим: второе условие даёт: Дифференцируя уравнение (9) еще раз, получаем откуда .

Итак, для того, чтобы функция удовлетворяла заранее системе начальный условий, должно удовлетворять системе уравнений:

(11)

67. Линейные неоднородные уравнения с постоянным коэффициентомЛинейные неоднородные дифференциальные уравнения вида

(1)

В котором все коэффициенты являются постоянными, называются линейными однородными дифференциальными уравнениями с постоянным коэффициентом. Частные решения будем искать в виде . Т.к. , то для уравнения (1) получаем:

(2)

кот. наз. характеристическим многочленом данного уравнения.

Множитель не при каком значении . Поэтому ф-циятогда и только тогда удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами (1); когда корнем уравнения.

(3)

Характеристические уравнения действительны и различны; т.к. алгебраическое уравнение имеет столько корней какова его степень, то получается ровно различных корней уравнения (3). Каждому из этих корней соответствует частное решение данного дифференциального уравнения.

(4)

Покажем, что система (4) буде фундаментальна т.е. является линейно-независимой

Определитель Вронского будет иметь вид:

*= определитель Вронского система частных решений является фундаментальной линейная комбинация ф-ций этой системы дает общее решение ур-ния (1)

(5)

Все корни характеристического уравнения различны, но среди них имеются комплексные.

Пусть - один из комплексных корней. Т.к. многочлен имеет лишь действительные коэффициенты, то корнем характеристического уравнения будет также и комплексное число

Паре комплексных сопряженный корней соответствует 2 частных решения.

,

Применяя формулы Эйлера

Преобразуем уравнение

Пример:

Среди корней характеристического уравнения в данном случае число линейно-независимых решений становится < n. Если k – корень характеристического уравнения кратности , то ему соответствует лишь одно решение . И для получения функциональной системы не хватает (-1) решений, которые записывают в следующем виде.

Пример:

кратность 2

68. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Теорема об общем и частном решениях. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называют равнение вида.

(1)

- вид отн. оператора (2)

Теорема 1:

Обще решение методом неоднородного дифференциального уравнения представляет сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Док-во:

Рассмотрим уравнение (2) и обозначим через известное частное решение этого уравнения

Введём новую функцию , которая связана сравенством.

Тогда уравнение (2) будет иметьи вид:

По свойству аддитивности линейного оператора, получим:

Если функция образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения , то

Теорема 2:

Если правая часть неоднородного уравнения (2) – есть сумма двух функций, , то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями и соответственно:

Доказательство:

Рассмотрим уравнения:

Пусть функции и удовлетворяют соответственно 1-му и 2-му уравнению.

В силу свойства аддитивности линейного оператора.

т.е. удовлетворяют исходному уравнению.

70. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнение имеет вид

(4)

Пусть:

(5)

Предположим, что незвестные функции зависящие от х

(6)

Найдем значение пр-ных частных решений однородных уравнений с 1 по 3 порядок включительно и запишем систему:

(7)

Система (7) является неодонородной системой линейных (неоднородных) алгебраических уравнений, которые совместны, т.к. её определитель (определить Вронского).

Решив её мы получим:

Проинтегрировав обе части уравнений, найдём значение , которое затем подставим в выражение (5) – общее решение.