- •11.Непрерывность функции
- •13.Правила диферинцирования.
- •16. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
- •17. Теорема Ферма
- •Геометрический смысл теоремы
- •Доказательство
- •Доказательство
- •20. Правило Лопиталя
- •37 Геометрическое приложение определенного интеграла
- •38 Несобственные интегралы
- •39 Фн. Нескольк. Переменных
- •42.Свойства непрерывной ф-ции
- •43.Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия диф-ти.
- •45. Производные частных функций
- •55. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения с разделяющимися переменными.
- •61. Интегрирующий множитнль
- •63. Типы уравнений, допускающих понижение порядка
- •64. Линейное однородное диф-ое ур-ие высших порядков.
- •65. Линейная зависимость ф-ий. Определитель Вронского и его свойства
- •71. Основные понятия. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.
- •72. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
- •73.Ряды с положительными членами. Признак сравнения.
- •74.Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
- •75. Интегральный признак сходимости Коши.
- •76. Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.
- •77. Степенные ряды.Теорема Абеля.
- •78. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
- •Свойства степенных рядов:
- •79. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •69.Способ неопределённых коэффициентов.
45. Производные частных функций
Пусть Ζ=ƒ(х,у) – ф-ция двух переменных х и у , каждая из которых есть ф-цией переменной t. Тогда ф-ция Ζ=ƒ[х(t), у(t) есть сложная ф-ция переменной t, а х и у – промежуточные переменные.
51.Наибольшее и наименьшее значение функции. При нахождении наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных глобального максимума, непрерывной на некотором замкнутом пространстве и множестве, следует иметь ввиду, что эти значения достигаются или в точках экстремума или на границах множества.
Подмножество Д n-мерного пространства наз. выпуклым, если для двух точек А и В принадлежащих Д отрезок соединяющий эти точки так же целиком принадлежит Д.
Ф-я z = (xy) заданная на выпуклом множестве Д наз. Выпуклой вниз, если для любых точек выполняется неравенство ( x1 + x2 , y1 + y2) (x1;y1) + (x2 + y2) и наз. Выпуклой вверх, если 2 2 2 2
( x1 + x1 , y1 + y2) (x1;y1) + (x2 + y2)
2 2 2
Это означает, что для выпуклой ф-ции = 0 частная производная явл. не только необходимым, но достаточным условием экстремума явл. глобальной т.е. наименьшее значение в случае ф-ции выпуклой вниз и наибольшее в случае выпуклой вверх.
52.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Пусть рассматриваемая ф-я z = (xy), аргументы x и y, которой удовлетворяют условию: g(x;y)=c – уравнение связи. Точка с координатами (x0;y0) наз. Точкой условного максимума (минимума) если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек с коорд. (x;y) из этой окрестности удовлетворяющих условию g(x;y)=c выполняется неравенство: (x0;y0) (xy)
Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.
Ф-я Логранжа имеет вид: L(x,y,)= (x;y)+[ g(x;y)-c] где - множитель Лагранжа.
Теорема.
Если т. (x0;y0) явл.точкой условного экстремума ф-ции z = (xy) при условии g(x;y)=c, то существует значение такое, что точка (x0,y0, 0) явл. точкой экстремума ф-ции Лагранжа.
Таким образом для нахождения условного экстремума требуется найти решение системы:
l =0
x
l =0
y
l =0
x
53. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов. Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы полученные опытным путем. Требуется наилучшим образом сгладить экспериментную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отобразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения связанные с неизбежными погрешностями измерений или стат. наблюдений. Такую слаженную зависимость стремятся представить в виде y=(xy). Формулы, служащие для аналитического представления опыт. Данных получили наз. эмпирических формул. Задача нахождения эмпир. формул разбивается на два этапа: на первом этапе нужно установить вид зависимости y=(x). Предположим, что результаты в экспериментальных условиях нанесены на плоскости обычно предполагают, что прямая истиной зависимости это кривая истиной зависимости, наиболее согласована с экспериментальными данными. Предположим, что первый этап завершен и вид ф-ии y=(x) установлен. Тогда переходят ко второму этапу - определению неизвестных параметров ф-ии. Согласно наиболее распространенный и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов. В качестве неизвестных параметров ф-ии выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов i и отклонений теор. значений (xi) найденых по эмпирической формуле от соответствующих опытных значений yi была
n n
минимальной. S = i 2 = ((xi) – yi)2
i=1 i=1
Пусть в качестве ф-ии y=(xy) взята линейная зависимость y=a+b. Задача сводится к отысканию таких значений параметров a и b, при которых ф-я . n
S = (axi+b-yi)2
i=1
Sa=0 2 (axi+b-yi)xi=0
Sb=0 2 (axi+b-yi)=0
Алгебраически преобраз. эта система имеет вид:
n 2 n n
(å xi )a + (å xi)b = å xi yi
i=1 i=1 i=1
n n (1)
(å xi)a + n = å yi
i=1 i=1
Система (1) наз. системой нормальных уравнений. Эта система имеет единственное решение т.к. ее опеределитель не равен 0.
54. Дифференциальные уравнения ур-я. Основные понятия. Геометрическое истолкование. Дифференциальным ур-е наз. ур-е связывающее независимую переменную x, неизвестную ф-ию y=y(x)
и её производные y,y,…,yn или дифференциал F(x,y,y,y,…,y)(n)=0 (1)
Порядком диф. ур-ф наз. порядок высшей производной в него входящей. Решением диф. ур-я наз.
всякая ф-я y=y(x), будучи подставлена вместе с производными y,y,…,y(n) в (1)превращает его в тождество. Пусть дано диф-ое ур-е первого порядка в виде F(x,y,y)=0 (2) y=(x,y) (3) разрешенным относительно производной. Решением диф-ого ур-я служит некоторая ф-я y, зависящая не только от x, но и содержащая производную постоянного с.
Предавая различные значения постоянной с мы получили множество решений. Ф-я y=y(x;c), которая при любом постоянном значении с удовлетворяют ур-ю 2 и 3 наз. общим решением диф-ого ур-я первого порядка. Пусть кроме ур-я нам задано значение искомой ф-ии у=у0 и х=х0. Дополнительное условие наз. начальным у=у(х;с) (4) . Подставим общее значение х=х0 и у=у0. Если решая ур-е (4) относительно с мы найдем вполне определенное значение с=с0 , то ф-я у=у(х;с0) будет удовлетворять и ур=ю (3) и начальному условию.Тем самым из мн-ва решений будет выделено одно. Решение ур-я (3),которое получ. из общего решения при вполне определенным значении постоянной с наз. решением.