13.Правила диферинцирования.

1.Производ. постоянной равна нулю

c`=0

2.Производ. алгебраической суммы конечного числа диферинцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций.

(u+v)`=u`+v`

3.Производ. произведения двух диферинцируемых ф-ций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

(u⋅v)`= u`v+uv`

Следствие (1).Постоянный множитель можно выносить за знак производной (c u )` =cu`

Следствие (2). Производ. Произведения нескольких дифир. ф-ций равна суме произвед. производных каждого из сомножителей на все остальные

(u⋅v⋅w)`= u`⋅ u ⋅w +u ⋅ v`⋅ w +u ⋅ v ⋅ w`

4.Производная частного двух диферинцируемых ф-ций может быть найдена по формуле:

Док-во правила (3)

Пусть ф-ция u = u (x) диферинцируемая. Дадим аргументу x преращения

∆x ≠ 0, тогда ∆y =(u+∆u)(v+∆v)

∆y= (u+∆u) (v+∆v)-u⋅v

Разделим правую и левую часть равенства на ∆ x

Переходя к пределу при ∆ x →0, получим

lim

14.Производная сложной и обратной ф-ции

Пусть переменная у есть ф-ция переменной и у=f(и) ,а переменная и есть ф-ция независимой переменной х : у=f ∆

Теорема: Если у=f(и) и и= дифиринцируемые ф-ции от своих аргументов ,то производная сложной ф-ции существует и равна производной данной ф-ции по промежуточному аргументу умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х .

Y`=f`(u)*v`

Доказательство:Дадим независимой переменной х приращение,тогда ф-ция и= и получат соответственно приращение и . Предположим, что ,тогда в силу дифференцируемости ф-ции можно записать:

где f`(и) независет от на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами ф-ции имеем:,

где- бесконечно малое при .Отсюда

разделив обе части равенства на получим т.к. по условию ф-ция дифиренцируема , то она непрерывна в т.х следовательно при

а значит и .Переходя к пределу при получим

y`=f`

16. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

Производная неявной функции.

F(x,y)=0

Для нахождения производной неявной функции у нужно продифференцировать обе части уравнения , рассматривая у как функцию от х, затем из полученного выражения найти у:

х²-ху+ lny=2

2x- y- xy+y/y=0

y(1/y-x)=y-2x

y*(1-xy)/y=y-2x

y=(y²-2xy)/(1-xy)

Производные высших порядков.

Производную ф-и у f(x)будем называть пр-ной 1-го порядка.

Производной n-го порядка наз. пр-ную от пр-ной (n-1)-го порядка.

17. Теорема Ферма

Если дифференцируемая на помежутке Х ф-я у=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная ф-и в этой точке =0.

F’(x0)=0

Пусть ф-я у=f(x) диференцируема на промежутке Х и в т. х0 х принимает наименьшее значение, тогда

F(x0+x)f(x0), если х0+хХ, и следовательно

у=f(x0+x)-f(x0)0 при достаточно малых х, отсюда

у/х0 при х0 и (у/х)0 при х0.

Переходя к пределу справа и слева получим

lim_x0y/x0 lim_x0y/x0

Так как ф-я y=f(x) диф-ма в т. х0, то её предел при х0 не дрлжен зависить от способа стремления к 0 х т. е.

lim_x0y/x=lim_x0y/x=0

Откуда следует f(x0)=0. Аналогично доказывается случай, когда ф-я f(x) принимает в т. х0 своё наибольшее значение.