Геометрический смысл теоремы

В т. наибольшего или наименьшего значений, достигаемых внутри промежутка Х касательная к графику ф-и паралельна оси абсцисс.

18. Теорема Роля.

Пусть ф-я y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. Непрерывна на отрезке АВ

2. Диф-ма на интервале(АВ)

3. На концах отрезка приниает равные значения: f(A)=f(B), тогда внутри отрезка существует по крайней мере 1 такая точка (а;в), что производная ф. Данной точки =0.

Доказательство

Раннее было установлено, что ф-я непрерывна на отрезке, достигает на нём своего наибольшего и наим. Значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то по условию они равны, а это значит, что ф-я постоянна на отрезке АВ, тогда производная=0 во всех точках данного отрезка. Если же хотябы одно из этих значений наименьшее или наиб. Достигается внутри отрезка, то производная в соответствующей точке =0 в силу теоремы Ферма.

19. Теорема Лагранжа.

Пусть ф-я y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. Непрерывна на отрезке АВ

2. Диф-ма на интервале(АВ)

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере 1 такая точка , в к-й производная = частному от деления пирощения ф-и на прирощение аргумента на этом отрезке f()=(f(b)-f(a))/(b-a)

Доказательство

Введём новую ф. g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(x-a)

Ф-я g(x) удовлетворяет условиям теоремы Роля: она непрерывно на отрезке АВ, диф-ма на интервале (АВ) и в концах интервала принимает разные значения.

g (a)=f(a) – (f (b)- f (a)) / (b-a) (a-a)

g (b)=f(b) – (f (b)- f (a)) / (b-a) (b-a)= f(b)- f(b)+ f(a)= f(a)

Следовательно, существует т. , принадлежащая интервалу АВ, такая, что g()=0, или g()=f()=(f (b)- f (a)) / (b-a),

Откуда f()=(f (b)- f (a)) / (b-a), ч.и.т.д.

Механический смысл прирощение f (b)- f (a) это изменение ф-ции на отрезке (АВ), выражение (f (b)- f (a)) / (b-a) – средняя скорость изменения функций на этом отрезке. Таким образом, теорема утверждает, что существует хотя бы одна точка внутри отрезка, такая, что скорость изменения ф-ции в ней= средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометриеский смысл

Рис.1

Если перпмещать прямую АВ параллельно начальномк положению, найдётся хотя бы одна точка , принадлежащая (АВ), которая касательно к графику ф-ции f(х) и хорда АВ, проведённая через концы дуги АВ параллельно.

Следствие если производная f(х) =0 на некотором промежутке х, то ф-ция тождественна постоянно на данном промежутке.

20. Правило Лопиталя

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций= пределу отношения их производных (конечного или бесконечного), если последний существует.

Доказательство рассмотри доказательстводля неопределенности 0/0 х х0. Для простоты будем предполагать, что ф-ция f(х) и g (х), а также их производные непрерывны в точке х0, причём lim _{х х0} f(х)=f(х0)=0

lim _{х х0} g(х)=g(х0)=0

В этом случае предел lim _{х х0} f(х)/g(х)= lim _{х х0} (f(х)-f(х0))/( g(х)-g(х0))

Применяя теорему Лагранжа для ф-ций f(х) и g(х) на отрезке х, х0, получим: lim _{х х0} f(х)/g(х)= lim _{х х0} (f(1) (x-x0)) / (f(2) (x-x0)) = lim _{х х0} f(1) / f(2), где х 1; 2  x0.

При хх0 в силу непррывности производных f(х) и g(х) имеем, что

f(1)  f(х0).

g(2)  f(х0).

Используя теорему о пределе частного двух ф-ций, получаем необходимое равенство

21.Возростание и убывание ф-ии Весьма важной особенностью в поведении функции является возрастание и убывание. Определение: функция называется возоастающей в интервале, если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции; она называется убывающей, если большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции.

Таким образом, f(x) возрастает в интервале [a,b], если для любых значений х₁, х₂, удовлетворяющих условию а=<x₁<x₂=<b,имеет место неравенствоf(x₁)<f(x₂), и убывает, если для любых значений х₁, х₂, удовлетворяющих указанному условию, имеет место неравенство f(x₁)>f(x₂).

Так например функция у=2^х возрастает на всей числовой оси, функция у=2^-х убывает. Функция у=2^х убывает в интервале (-беск;0)и возрастает в интервале (0;беск)

22. Экстремум ф-ии. особую роль в исследовании функций играют значения х, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания или наоборот. В этих точках функция f(x) меняет характер своего изменения; при переходе независимой переменной через эти точки функция f(x) из возрастающей становится убывающей или наоборот, из убывающей – возрастающей. Если имеет место первый случай(точка х’ отделяет интервал возрастания от интервала убывания) , то существует такая окрестность точки х’, что значение f(x’) является наибольшим значением функции f(x) в этой окрестности; если имеет место второй случай(точка х” отделяет интервал убывания от интервала возростания), то существует такая окрестность точки х”, f(x”) является наименьшим значением функции f(x) в этой окрестности. Дадим общее определение: Точка х₀называется точкой максимума функции f(x), если f(x₀) есть наибольшее значение функции f(x) в некоторой окрестности точки х₀. аналогично точка х₀ называется точкой минимума, если f(x₀) есть наименьшее значение функции f(x) в некоторой окрестности точки х_0. точки максимума и минимума объединяются общим названием точки экстремума.

23. Выпуклость ф. Точки перегиба дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в двух точках. Если дуга выпуклая, то она целиком лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой точке. Линии, обращенные выпуклостью вверх, условились называть выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз – вогнутыми. Геометрически ясно, что выпуклая дуга лежит под любой своей касательной, а вогнутая дуга – над касательной. Особую роль играют точки на линии, отделяющие выпуклую дугу от вогнутой; они называются точками перегиба. Точка на линии называется точкой перегиба, если она отделяет выпуклую дугу от вогнутой. В точке перегиба касательная пересекает линию; в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной. В точке перегиба линия меняет характер своей изогнутости: при переходе подвижной точки на линии через точку перегиба линия становится из выпуклой – вогнутой или из вогнутой – выпуклой.

24. Асимптоты графика ф. когда мы хотим изучить функцию при стремлении аргумента к бесконечности, нам приходится иметь дело с частями графика, уходящими в бесконечность , так называемыми бесконечными ветвями графика. С бесконечными же ветвями нам приходится иметь дело и тогда, когда мы рассматриваем функцию вблизи точек ее бесконечного разрыва. Знание бесконечных ветвей функции необходимо для того, чтобы правильно представить себе форму всего графика и, следовательно, характер изменения функции во всей области ее определения. Подойдем к вопросу с геометрической точки зрения и введем в связи с этим определение асимптоты линии. Прямая линия a называется асимптотой линии b, если расстояние точки линии bот прямой a стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат. Следует различать случаи вертикальной и наклонной асимптот. Пусть линия у=f(x) имеет вертикальную асимптоту. Уравнение такой асимптоты будет х=х₀. пусть линия y=f(x) имеет наклонную асимптоту. Уравнением такой асимптоты будет y=ax+b.

25. Диф-л ф-ии. Диф-лы высших порядков. пусть y=f(x) – функция, непрерывная при рассматриваемых значениях х и имеющая производную lim deltay/deltax=f’(x). Из этого равенства следует, что deltay/deltax=f’(x)+E, где Е – бесконечно малая величина при deltax→0. Отсюда находим, что λy=f’(x) λx+ά, где ά=Еλх. Итак, бесконечно малое приращение дифференцируемой функции λу может быть представлено в виде суммы двух слогаемых: величины, пропорциональной бесконечно малому приращению независимой переменной λх, и бесконечно малой величины более высокого порядка, чем λх. Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента λх и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем λх. Дифференциал функции у обозначается через dy или df(x).дифференциал функции равен ее производной. Умноженной на дифференциал независимой переменной, т.е. dy=f’(x)dx. Свойства дифференциала:

dc=0

d(cu)=cdu

d(u+v)=du+dv

d(u*v)=v*du+u*dv

дифференциал dy функции y=f(x) есть функция двух переменных: независимой переменной х и ее дифференциала dx. Дифференциал dx независимой переменной х рассматривается как величина, не зависящая от х: при заданном значении х значение dx могут выбираться произвольно.

Рассматривая df(x) как функцию х, возьмем дифференциал d[df(x)]. Если этот дифференциал существует, то он называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом от функции f(x) и обозначается через d²y. Дифференциалом n-го порядка dⁿу называется дифференциал от дифференциала (n-1)-порядка как функции х: dⁿy=d(d^n-1y).

Дифференциал n-го порядка равен произведению производной n-го порядка по независимой переменной на n-ю степень дифференциала независимой переменной.

26. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Ф-ия F(x) называется первообразной ф-ии для ф-ии f(x) на промежутке X, если в каждой точке х из этого промежутка

F(x)^/= f(x).

Геометрически найти первообразную для ф-ии f(x) – значит найти такую кривую у=F(x), что угловой коэфиц. касательной к ней в произвольной точке х=F(x)^/ равен F(x)^/= f(x), заданной в этой ф-ии.

Если найдена одна кривая у=F(x), то сдвигая её вдоль оси ординат мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие условию F(x)^/= tga=f(x).

Теорема: Если F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x) в некотором промежутке Х, то найдётся такое число с, что справедливо равенство F₂(x)= F₁(x) + с.

Доказательство: Поскольку (F₂(x) - F₁(x))^/ = f(x) - f(x)=0, то по следствию из теоремы Логранджа найдётся такое число С, что F₂(x) - F₁(x) = С или F₂(x)= F₁(x) + с.

Из данной теоремы следует, что если F(x) – первообразная для ф-ии f(x), то выражение вида f(x)+с, где с-const задаёт все возможные первообразные для ф-ии f(x)на промежутке Х называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x).

Рис. 2

27. Свойства неопределенного интеграла интегралы от основных элементарных ф-ий.

Произв. от неопр. интеграла равна подинтегр. ф-ии.

Диференциал неопр. интеграла равен подинтегр. выражению

Неопред. интеграл от диференциала некотор. ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слогаемого

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий.

Табличные интегралы

31. Интегрирование рац. ф-ций Неопред. интеграл от целой рац. функции находится непосредств.: ∫(a₀+a₁x+…+a_nxⁿ)dx = ∫a₀dx+∫a₁xdx+…+∫a_nxⁿdx. Интегрирование дробно-рац. ф-ции, после выделения целой части, сводится к интегрированию правильной рац. дроби P(x)/Q(x), где Q(х) и P(х)- многочлены, в к-х степень Р ниже степени Q. Если многочлен Q(x) имеет различные действит. формы a, b,...,l, соотв. кратности α, β,…, λ и комплексные – попарно сопряжённые α_k±β_лi (k=1,s) соотв.кратности υ₁, υ₂,…, υ_s.Т.е.Q(x) можно представить в виде Q(x)=(x-a)^α(x-b)^β...(x-l)^λ(x²+p₁x+q₁)^υ…(x²+p_sx+q_s)^υ_s.

Рис. 3

Справедливо сл. разложение дроби P(x)/Q(x) на простейшие дроби A₁/(x-a)+A₂/(x-a)²+…+A_α/(x-a)^α+B₁/(x-b)+B₂/(x-b)²+…+B_β/(x-b)^β+L₁/(x-l)+L₂/(x-l)²+…+L_λ//(x-l)^λ+(C₁x+D_υ1)/(x²+p₁x+q₁)+…+(C_υ1x+D_υ1)/(x²+p₁x+q₁)^υ1+…+(M₁x+N₁)/(x²+p_sx+q_s)+…+(M_υsx+N_υs)/(x²+p_sx+q_s)^υs. Const. находятся методом неопред. коэф-в. После разложения на простейшие слагаемые, интегрирование правильной рац. дроби сводится к нахождению интеграла вида I₁=∫ dx/(x-a)ⁿ и I₂=∫ (M_x+N)dx/(x²+px+q)^m.

32. Интегрирование тригонометр. ф-ций 1) Интегралы вида ∫sinax∙cosbx dx, ∫sinax∙sinbx dx, ∫cosax∙cosbx dx находятся с помощью тригонометр. формул sina∙sinb=1/2 (cos(a-b)-cos(a+b)), cosa∙cosb=1/2 (cosa(a-b)+cos(a+b)), sina∙cosb=1/2 (sin(a-b)+sin(a+b)).

2) ∫sinⁿx∙cos^mx dx, где а) m и n – чётные: sin²x=1/2 (1-cos2x), cos²x=1/2 (1+cos2x), sinx∙cosx=1/2 sin2x; б) m – нечёт., n – чёт.: t=sinx; в) n – нечёт., m –чёт.: t=cosx.

3) а) ∫R(sinx,cosx) dx, где R – рац.ф-ция от sinх и cosх, приводятся с помощью подстановки t=tg x/2, где sinx=2t/(1+t²), cosx=(1-t²)/(1+t²), а dx=2dt/(1+t²); б) Если R(-sinx,-cosx)= R(sinx,cosx), то целесообразно исп. подстановку t=tgx, где sinx=t/(1+t²)^1/2, cosx=1/(1+t²)^1/2, dx=dt/(1+t²).

33. Интегрирование некоторых иррац. ф-ций 1) Интегралы вида ∫R(x₁(((a_x+b)/(c_x+d))^p₁/^q₁ , …, ((a_x+b)/(c_x+d))^p_k/^q_k) dx находим подстановнокой (a_x+b)/(c_x+d)=tⁿ, где n – наим. общее кратное чисел q_1,…,q_k.

2) ∫ от диф. Бинома ∫x^m(a+bxⁿ)^p dx, где m, n, p – рац. числа, a и b – постоянные отличные от нуля, сводится к интегралу от рац. в трёх случаях: а) р- целое, тогда выражение раскладывается на слагаемые по формулам бинома Ньютона; б) (m+1)/n – целое, тогда a+bⁿ=t^s, где s – знаменатель дроби р; в) ((m+1)/n + p) – целое, тогда a∙x^-n+b=t^s. Подстановки Чебушева (а, б,в).

34. Понятие опр. интеграла, его геом. смысл Пусть предел интегральной суммы при стремлении max ∆x_i→0 сущ., конечен и не зависит от способа выбора x_i и ξ_i. Тогда этот предел назыв. опр. интегралом от ф-ции y=f(x) на [a;b] и обозначается ∫_a^b f(x) dx= lim_{max ∆xi→0} ∑ⁿ_i=1 f(ξ_i)∙∆x_i.

Теорема (Достаточ. усл. сущ. опр. интеграла): Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она она на этом отрезке интегрируема.

Геом. смысл: Пусть на отрезке [AB] задана ф-ция у=f(x). Разобьём отрезок на n элементарных отрезков т.x₀,x₁,…,x_n, при чём a=x₀ ‹ x₁ ‹ ,…, ‹ x_n=b. На каждом отрезке разбиения выберем некоторую т. ξ_i и положим, что ∆x_i=x_i-x_i-1, где i=1,n. Сумму вида ∑ⁿ_i=1 f(ξ_i)∙∆γ будем назыв. интегральной суммой для ф-ции y=f(x) на [a;b].

35. Св-ва опр.интеграла

1) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: =.

2) Интеграл от алгебр. суммы ф-ций равен такой же сумме интегралов: .3) Если отрезок интегрирования разбить на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возможных частей: .4) Если на отрезке [a;b], где a<b заданы ф-ции f(x)dx=y(x), то обе рав-ва можно почленно интегрировать: .

Теорема (О среднем): Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a;b], то найдётся такое значение , что .

B

x

y

3 6 Ф-ла Ньютона-Лейбница. Замена переменной и ф-ла интегрирования по частям в определенном интеграле

П усть фн-ция непрерывна на отрезке [a;b], тога определим интервал от фн-ции , который равен приращению первообразной на этом отрезке

Замена переменной и ф-ла интегрирования по частям в определенном интеграле. Имеет непрерывную производную на отрезке : и фн-ция непрерывна в каждой точке вида

Теорема.

Пусть фн-ция имеют непрерывную производную на отрезке . Тогда справедливо равенство.