- •11.Непрерывность функции
- •13.Правила диферинцирования.
- •16. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
- •17. Теорема Ферма
- •Геометрический смысл теоремы
- •Доказательство
- •Доказательство
- •20. Правило Лопиталя
- •37 Геометрическое приложение определенного интеграла
- •38 Несобственные интегралы
- •39 Фн. Нескольк. Переменных
- •42.Свойства непрерывной ф-ции
- •43.Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия диф-ти.
- •45. Производные частных функций
- •55. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения с разделяющимися переменными.
- •61. Интегрирующий множитнль
- •63. Типы уравнений, допускающих понижение порядка
- •64. Линейное однородное диф-ое ур-ие высших порядков.
- •65. Линейная зависимость ф-ий. Определитель Вронского и его свойства
- •71. Основные понятия. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.
- •72. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
- •73.Ряды с положительными членами. Признак сравнения.
- •74.Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
- •75. Интегральный признак сходимости Коши.
- •76. Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.
- •77. Степенные ряды.Теорема Абеля.
- •78. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
- •Свойства степенных рядов:
- •79. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •69.Способ неопределённых коэффициентов.
61. Интегрирующий множитнль
Если условие ∂M/∂y=∂N/∂x не выполнено, то диф-ое ур-ие М(х, у)dx+N(x, y)dy=0 не является ур-ем в полных диф-ах, однако это ур-ие можно привести в ур-ие в полных диф-ах умножением на подходящую ф-ию μ(х, у), такая ф-ия носит название интегрирующего множителя.
Для того чтобы ур-ие μM(x, y)dx+μN(x, y)dy=0 было ур-ем в полных диф-ах, должно выполнятся условие:
∂(μМ)/∂у=∂(μN)/∂x, либо
∂μ/∂y*M+μ*∂M/∂y=∂μ/∂x*N+μ*∂N/∂x
N*∂μ/∂x-M*∂μ/∂y=μ*(∂M/∂y-∂N/∂x) (6)
Пусть μ=μ(х), тогда ур-ие (6) примет вид:
N*dμ/dx=μ*(∂M/∂y-∂N/∂x) или
dμ/μ=(∂M/∂y-∂N/∂x)/N*dx
ln IμI = ∫(∂M/∂y-∂N/∂x)/N*dx
μ(x)=е∫(∂M/∂y-∂N/∂x)/N*dx
В этом случае выражение (∂M/∂y-∂N/∂x)/N не зависит от у.
Пусть теперь μ=μ(у), тогда ур-ие (6) примет вид:
M*dμ/dy=μ(∂M/∂y-∂N/∂x), тогда
μ(у)=е-∫(∂M/∂y-∂N/∂x)/M*dy
62.Дифференциальные уравнения высших порядковВсе диф-ые ур-я порядка выше первого называют диф-ми ур-ями высших порядков. Они имеют такой вид:
F(y(n), y(n-1),...., y', y, x) = 0 либо
y(n) = f(x, y, y',…,y(n-1))
Для ур-ий порядка n в качестве начальных уравнений задаются некоторые точки значения искомой ф-ии и всех ее производных до n-1 порядка включительно, т.е. при x=x0, y=y0,
y'=y0',
.............
y(n-1)=y0(n-1)
Задача нахождения частного решения данного диф-го ур-я удовлетворяющего системе начальных условий наз-ся задачей Коши.
Теорема (о существовании и единстве)
Пусть дано диф-ое ур-ие n-го порядка и соответствующая система начальных условий, если ф-ия f(x, y, y',…., y(n-1)) непрерывна в окрестности начальных условий и имеет непрерывные частные производные по аргументам x, y, y', y(n-1), то существует и притом единственное решение ур-ия, определенное на некотором интервале, соединяющем x0, и удовлетворяющее заданной системе начальных условий.
Общим решением диф-го ур-ия n-го порядка называется решение содержащее произвольные постоянные которые можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить любой допустимой системе начальных условий.
63. Типы уравнений, допускающих понижение порядка
1) Простейшим типом ур-ий n-го порядка допускающим понижение порядка является уравнение вида:
yn=f(x) (1)
Здесь порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования.
Пример
y'''=sinx-cosx
y''=∫(sinx-cosx)dx = -cosx-sinx+c1
y'= -sinx+cosx+c1x+c2
y=cosx+sinx+c1x2/2+c2x+c3
2) Диф-ое ур-ие F(x, y(k), y(k+1),…., y(n))=0 (2) не содержащее явной искомой функции и младших производных до (k-1)-го порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц.
Примем за новую искомую функцию
U=y(k) (3), следовательно
U=y(k+1) U(n-1)=y(n)
Так что подстановка выражения (3) в (2) приводит к виду
F(x, U, U',…., U(n-k))=0
Проинтегрировав это ур-ие и определив новую искомую функцию U, можно найти ф-ию y рассматривая равенство (3) как ди-ое ур-ие допускающее понижение порядка последовательным интегрированием.
Пример:
yIV=√y'''
y'''=U U'=yIV
U'=√U
∫dU/√U=∫dx
2√U=x+c1
U=(x/2+c1/2)2
y'''=(x+c1)2
y''=(x+c1)3+c2
y'=(x+c1)4+c2x+c3
y=(x+c1)5+c2x2/2+c3x+c4
3) Частным случаем рассмотренного выше типом ур-ия является ур-ие 2-го порядка не содержащее явно искомой ф-ии:
F(x, y', yn)=0 (4)
Здесь порядок уменьшается на единицу подстановкой y'=U
4) Ур-ие вида F(y, y', y'',….,y(n))=0 (5) не содержит явно неизвестную переменную, здесь порядок понижается на единицу путем замены обоих переменных. В качестве новой искомой ф-ии y'=p, а за новую независимую переменную принимаем y.
По правилу диф-ия получаем:
y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=p*dp/dy
y''=d/dx*(p*dp/dy)=dp/dx*dp/dy+p*d/dx*(dp/dy)=p(dp/dy)2+p(dp/dy)'y*dy/dx=p(dp/dy)2+p2*d2p/dy2