- •11.Непрерывность функции
- •13.Правила диферинцирования.
- •16. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
- •17. Теорема Ферма
- •Геометрический смысл теоремы
- •Доказательство
- •Доказательство
- •20. Правило Лопиталя
- •37 Геометрическое приложение определенного интеграла
- •38 Несобственные интегралы
- •39 Фн. Нескольк. Переменных
- •42.Свойства непрерывной ф-ции
- •43.Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия диф-ти.
- •45. Производные частных функций
- •55. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения с разделяющимися переменными.
- •61. Интегрирующий множитнль
- •63. Типы уравнений, допускающих понижение порядка
- •64. Линейное однородное диф-ое ур-ие высших порядков.
- •65. Линейная зависимость ф-ий. Определитель Вронского и его свойства
- •71. Основные понятия. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.
- •72. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
- •73.Ряды с положительными членами. Признак сравнения.
- •74.Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
- •75. Интегральный признак сходимости Коши.
- •76. Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.
- •77. Степенные ряды.Теорема Абеля.
- •78. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
- •Свойства степенных рядов:
- •79. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •69.Способ неопределённых коэффициентов.
74.Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
Теорема: Если ряды ∑Un (n=от 1 до бесконечности) и ряды ∑Vn (n=от 1 до бесконечности) с положительными членами, и существует предел относительно их общих членов, то ряды одновременно сходятся или расходятся.
Доказательство: Т к lim Un / Vn =k, то по определению предела числовой последовательности для любого ξ существует такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство: |Un /Vn - k|<ξ, или |Un- k/Vn|<ξ Vn .
Откуда (k-ξ) Vn < Un<(k+ξ) Vn. Если ряд из Vn сходится, то сходится и ряд ∑(k+ξ)Vn (n=от 1 до бесконечности), и в силу признака сравнения будет сходиться ряд ∑Un (n=от 1 до бесконечности). Аналогично, если сходится ряд из Un , то сходится ряд ∑(k-ξ)Vn (n=от 1 до бесконечности) и сходится ряд из Vn .
Расхождение доказывается аналогично.
Теорема (Признак Даламбера): Пусть для ряда ∑Un (n=от 1 до бесконечности) с положительными членами существует предел отклонения n+1 члена к n-ному члену lim Un+1/ Un (при n, стремящемся к бесконечности). Тогда если А<1, то ряд сходится. Если ряд А>1, то ряд расходится. Если А=1, то неизвестно.
75. Интегральный признак сходимости Коши.
Теорема: Пусть дан ряд f(1)+ f(2)+… +f(n)+…= ∑ f(n) (при n=от 1 до бесконечности), члены которого являются значениями некоторой функции f(k), положительная, непрерывная и убывающая на полуинтервале [1; +бесконечность), тогда если ∫ (от 1 до бесконечности) f(k)dx сходится, то и ряд один также сходится. Если же расходится – то и ряд один также расходится.
Заменим бесконечность на определённое число, считаем предел выражения. Получим, что при const ряд сходится, а при бесконечности – расходится.
76. Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.
Под знакочередующимися рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:
, где Un>=1.
Теорема.(Признак Лейбница): если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают (U1>U2>U3>…>Un…) и общий член ряда 0, то ряд сходится.
Доказательство: Пусть дан ряд 1, и пусть Un>Un+1; Un0, при n . Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов:
Все разности в скобках в силу 1-го условия – положительны, поэтому последовательность частичных сумм {}- явл. Возростающей.
Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:
Отсюда следует, что:<U1 для любого n, тоесть последовательность - ограничена и имеет предел: . Покажем, что последовательность частичных сумм нечетного числа членов сходится к тому же пределу S:
Переходя к пределу: lim=S+0=S
Таким образом последовательность частичных сумм {Sn} ряда 1, сходится к пределу S, а это и означает, что ряд 1 сходится.
Знакопеременные ряды.
Знакопеременным рядом наз. Ряд, в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.
Теорема.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда) Если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда: сходится, то сходится и данный ряд.
Доказательство: Обозначим - суммы абсолютных величин членов ряда:
U1+U2+…+Un+…, входящих в него со знаком + или -. Тогда сходимость ряда , а для ряда 2: . По условию ряд 2 сходится. Следовательно сущ. .
Последовательности явл возростающими и ограниченными, значит сущ их пределы и соответственно предел 1-го ряда: . Тоесть искомый ряд сходится.
Ряд наз абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд составленный из абсолютных величин его членов.
Ряд наз условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится.