- •11.Непрерывность функции
- •13.Правила диферинцирования.
- •16. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
- •17. Теорема Ферма
- •Геометрический смысл теоремы
- •Доказательство
- •Доказательство
- •20. Правило Лопиталя
- •37 Геометрическое приложение определенного интеграла
- •38 Несобственные интегралы
- •39 Фн. Нескольк. Переменных
- •42.Свойства непрерывной ф-ции
- •43.Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия диф-ти.
- •45. Производные частных функций
- •55. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения с разделяющимися переменными.
- •61. Интегрирующий множитнль
- •63. Типы уравнений, допускающих понижение порядка
- •64. Линейное однородное диф-ое ур-ие высших порядков.
- •65. Линейная зависимость ф-ий. Определитель Вронского и его свойства
- •71. Основные понятия. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.
- •72. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
- •73.Ряды с положительными членами. Признак сравнения.
- •74.Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
- •75. Интегральный признак сходимости Коши.
- •76. Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.
- •77. Степенные ряды.Теорема Абеля.
- •78. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
- •Свойства степенных рядов:
- •79. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •69.Способ неопределённых коэффициентов.
42.Свойства непрерывной ф-ции
1.Если ф-ция Ζ=ƒ(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области.
2.Если ф-ция Ζ=ƒ(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.
3.Если ф-ция Ζ=ƒ(М)непрерывна в этой области, то она принимает все промежуточные значения между двумя любыми своими значениями, т. е. А<С<В, где А и В – некоторые значения ф-ции в данной области, то в этой области существует т. М◦, в которой ƒ(М◦)=С.
4.Если ф-ция Ζ=ƒ(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она равномерно непрерывна в этой области, т. е. для любого ε>0 существует δ для любых двух т.М′, М″областей, удовлетворяющих условию ρ(М′,М″)<δ, выполняется неравенство │ƒ(М″)-ƒ(М′)│<ε.
43.Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия диф-ти.
Пусть ф-ция Z=ƒ(М) определена в некоторой окресности т. М(х, у). Предадим переменной х в т.М производное приращение ∆х, оставляя значение переменной у неизменным, т. е. перейдем на плоскости от т.М(х,у) к т. Мı(х+∆х,у) при этом ∆х такова , что т.Мı лежит в указанной окресности т. М. Тогда соответствующее приращение ф-ции ∆х Z=ƒ(х+∆х,у)-ƒ(х,у) называется частным приращением ф-ции по переменной х в т. М. Аналогично определяется частное приращение ф-ции по переменной у: ∆у Z=ƒ(х,у+∆у)-ƒ(х,у).
Определение 1.
Если существует предел при ∆х→0, то lim(∆х→0) ∆хZ/∆х, то он называется частной производной ф-ции Ζ=ƒ(М) в т. М по переменной х(по переменной у) и обозначается ƒ′х (ƒ′у) или Ζх(Ζ′у), Əƒ/Əх или Əƒ/Əу.
Определение 2.
Ф-ция Ζ=ƒ(М) называется дифференциальной в т.М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:
∆Ζ=А∆х+В∆у+α(∆х,∆у)∆х+β(∆х,∆у)∆у (1), где А,В – некоторая зависящая (1) от ∆х,∆у числа, а α,β –бесконечномалые при ∆х→0, ∆у→0 ф-ции.
Теорема1 (необходимое условие дифференцируемости).
Если ф-ция Z=ƒ(М)дифференцируема в т.М, то она непрерывна в этой точке.
Док-во. Если ф-ция Z=ƒ(М) диф-ма в т.М,то lim(∆х→0,∆у→0) ∆Z= lim(∆х→0,∆у→0) (А∆х+В∆у+α(∆х,∆у)∆х+β(∆х,∆у)∆у)=0, а это и означает, что ф-ция непрерывна в т.М.
Теорема 2 (необходимое условие диф-мости).
Если ф-ция Z=ƒ(М),то она имеет в этой точке частные производные, а именно: ƒ′х(х,у)=А, ƒ′у(х,у)=В.
Док-во.Так как ф-ция Z=ƒ(М) диф-ма в т.М, то имеет место соотношение (1). Полагая, что ∆у=0, имеем ∆хZ=А∆х+α(∆х,0)∆х, где α – бесконечномалая при ∆х→0.Разделив на ∆х полученное выражение и переходе к пределу при ∆х→0, получаем lim(∆х→0) ∆хZ/∆х= lim(∆х→0) (А+α(∆х,0))=А, ƒх′=А.
Аналогично доказывается второе утверждение. Обратные утверждения к теореме не являются верными.
44.Частные производные. Понятие дифференцируемости функции.
Достаточное условие дифференцируемости.
Пусть ф-ция Z=ƒ(М) определена в некоторой окресности т. М(х, у). Предадим переменной х в т.М производное приращение ∆х, оставляя значение переменной у неизменным, т. е. перейдем на плоскости от т.М(х,у) к т. Мı(х+∆х,у) при этом ∆х такова , что т.Мı лежит в указанной окресности т. М. Тогда соответствующее приращение ф-ции ∆х Z=ƒ(х+∆х,у)-ƒ(х,у) называется частным приращением ф-ции по переменной х в т. М. Аналогично определяется частное приращение ф-ции по переменной у: ∆у Z=ƒ(х,у+∆у)-ƒ(х,у).
Теорема 3 (достаточное условие диф-ти).
Если ф-ция Z=ƒ(М) имеет частные производные в некоторой ∆ окоесности т.М и эти производные в самой т.М, то ф-ция диф-ма в т.М.
Док-во. Придадим переменным х и у столь малые приращения ∆х и ∆у, чтобы т.Мı с координатами (х+∆х, у+∆у) не выходила за пределы ∆ окресности т.М. Полное приращение ф-ции ∆Z=ƒ(х+∆х, у+∆у)-ƒ(х,у) можно переписать в виде ∆?=[ƒ(х+∆х,у+∆у)-*ƒ(х,у+∆у)+[ƒ(х,у+∆у)-**ƒ(х,у)(2).
Выражение * рассматривается как приращение ф-ции ƒ(х,у+∆у) по переменной х(второй аргумент имеет постоянное значение у+∆у). Так как согласно условию эта ф-ция имеет производную по х ƒ′х(х,у+∆у), то по теореме Лагранжа получим ƒ(х+∆х, у+∆у)-ƒ(х,у+∆у)=ƒ′х(х+Θ,∆х,у+∆у)∆х, 0<Θı<1. Аналогично для ** имеем: ƒ(х,у+∆у)-ƒ(х,у)=ƒ′у(х,у+Θ2∆у), 0<Θ2<1. Производная ƒ′х и ƒ′у непрерывны в т.М, поэтому lim(∆х→0,∆у→0)ƒ′х(х+Θı∆х,у+∆у)=ƒ′х(х,у), lim(∆х→0,∆у→0) ƒ′у(х,у+Θ2∆у)=ƒ′у(х,у).
Отсюда следует, что ƒ′хХ+Θı∆х,у+∆у=ƒ′х(х,у)+α(∆х,∆у) и ƒ′(х,у+Θ2∆у)=ƒ′у(х,у)+β(∆х,∆у), где α и β – бесконечномалые величины.
Подставляя полученное выражение в (2), находим ∆Ζ: ∆Ζ=ƒ′∆х+ƒ′∆у+α(∆х,∆у)∆х+β(∆х,∆у)∆у,что и означает, что наша ф-ция диф-ма в т.М. Следовательно, из непрерывности частных производных следует непрерывность ф-ции.