5. Сущность начисления сложных процентов. Формула сложных процентов. Формула наращения по сложной ставке. Множитель наращения и способы его определения (смешанная схема начисления процентов).
Проценты (%-ые деньги) – это доход от предоставления денег в долг, измеряются в ден. ед. Начисляются % не сразу за весь срок долга, а периодически, т.е. ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям, ежегодно.
Сложные % - это %, начисляемые по сложной ставке.
Сложные % возрастают, т.к. каждый раз начисляются на новую сумму, которая больше предыдущей на ранее начисленные проценты:
I1=P*i
I2=(P+I1)*i
I3=(P+I1+I2)*i
Возрастают сложные проценты в геометрической прогрессии с множителем – 1+i
I1=P*i
Ik+1=Ik*(1+i)
Общая сумма % за весь срок долга находится путем суммирования % за все периоды: I=I1+I2+…+In
I=P*i+P*i(1+i)+…+P*i(1+i)n – 1
т.о представляет собой сумму членов геометрич. прогрессии (bk+i=bk*q=>,
b1+b2+…+bn=b1* gn – 1/g – 1),
при начислении сложных %-ов – b1=Pi
q=1+i
I=P*i*(1+i)n-1=P*i*(1+i)n-1=P[(1+I)n-1]
1+i–1 i
Формула сложных %: I= P[(1+i)n-1]
%-ая ставка – это доля дохода от исходной суммы за период начисления, измеряется в % или в долях.
Сложная ставка, если % каждый период начис-ся на различную накопленную сумму (первоанчальный долг вместе с раннее начисленными процентами), т.е. проценты начисляются на проценты, капитализация процентов.
При наращении сложных % с помощью наращения находят наращенную сумму, если известна первонач. сумма долга.
S=P+I;S=P+P[(1+I)n-1]=P(1+(1+i)n-1=P(1+i)n
Формула наращения по сложной ставке %:
S=P(1+i)n, где (1+i)n – множитель наращения по сложной ставке %, который показывает во сколько раз S>P.
Если срок долга n – дробное число, то множитель наращения рассчитывают по смешанной схеме, когда за целую часть срока начисляют сложные %, а за дробную часть – простые %.
(1+i)n=(1+i) (1+i*), где
- целая часть числа n
- дробная часть числа n
(+ ) = n
6. Наращение и дисконтирование. Формулы наращения и дисконтирования по сложной ставке. Формула для расчета срока операции и размера сложной ставки.
ФМрешает 2 задачи:
1)наращение – это определение стоимости денег в будущем, если известна их стоимость на данный момент времени
2)дисконтирование – это определение стоимости денег на данный момент времени, если известна их стоимость в будущем
%-ая ставка – это доля дохода от исходной суммы за период начисления, измеряется в % или в долях.
Сложная ставка, если % каждый период начис-ся на различную накопленную сумму (первоанчальный долг вместе с раннее начисленными процентами), т.е. проценты начисляются на проценты, капитализация процентов.
С помощью наращения находят наращенную сумму долга.
S=P+I;S=P+P[(1+I)n-1]=P(1+(1+i)n-1=P(1+i)n
Формула наращения по сложной ставке %:
S=P(1+i)n, где (1+i)n – множитель наращения по сложной ставке %, который показывает во сколько раз S>P.
Из формулы наращения выводят формулу для первоначального долга, ставки и срока.
S= P(1+i)n
Формула дисконтирования по сложной ставке:
P=_S___
(1+i)n
Где 1/(1+i)n - дисконтный множитель по сложной ставке
Формула сложной ставке:
Из формулы наращения выводят формулы для ставки и срока:
1.
размер ставки %:
2.
срок долга:
