7.Начисление сложных процентов несколько раз в году. Номинальная ставка процентов. Формула наращения по номинальной ставке.

Проценты (%-ые деньги) – это доход от предоставления денег в долг, измеряются в ден. ед. Начисляются % не сразу за весь срок долга, а периодически, т.е. ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям, ежегодно.

Сложные % - это %, начисляемые по сложной ставке.

Сложные % возрастают, т.к. каждый раз начисляются на новую сумму, которая больше предыдущей на ранее начисленные проценты:

Если сложные % начисляются несколько раз за год (ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям), то вводится номинальная ставка – это суммарная годовая ставка:

j=m*i, где j – номин. ставка (годовая)

i – сложная ставка за период начисления

m – количество начислений за год

m={12, 4, 2, 1}

с учетом номинальной ставки формула наращения преобразуется к виду:

S=P*(1+i)ⁿ = P*(1+ j/m)^n*m

Формула наращения по номин. ставке:

S=P(1+j/m)^n*m , где (1+j/m)^n*m – множитель наращения по номин. ставке.

8. Сущность инфляции. Уровень и индекс инфляции. Индексация и учет реальной покупательной способности денежных сумм.

Инфляция – это снижение покупательной способности денег, которая выражается в росте цен. Параметры инфляции:

Индекс (темп) инфляции показывает во сколько раз выросли цены; рассчитывается за любой период по формуле: J=(1+1)*(1+2)*…*(1+N), где - это уровень инфляции за период

J – индекс инфляции за срок

N – кол-во периодов инфляции за срок

Уровень инфляции (ставка) показывает на сколько % выросли цены за период (месяц, квартал, полугодие и год)

Если ожидается постоянная инфляция, т.е. 1= 2=3=…=N, то формула для расчета индекса инфляции значительно упрощается:

J=(1+)^N

Индекс инфляции используется для:

1. Индексации ден. суммы, когда исходная сумма умножается на индекс инфляции:

S=S*J, где S - сумма с учетом инфляции (включая все потери от инфляции)

S – исходная сумма

2. Для определения реальной покупат. способности ден. суммы, когда исходная сумма делится на индекс инфляции

Sреал=S/J, где Sреал – реальная покупат. способность исходной суммы.

9.Учет инфляции при начислении процентов: индексация первоначальной суммы и индексация ставки процентов. Реальная доходность операции и брутто – ставка.

Инфляция – это снижение покупательной способности денег, которая выражается в росте цен. Параметры инфляции:

Уровень инфляции (ставка) показывает на сколько % выросли цены. Он задается за период времени (месяц, квартал, полугодие и год)

Индекс (темп) инфляции показывает во сколько раз выросли цены; рассчитывается за любой срок по формуле: J=(1+)^N

J=(1+)^N, где  - это уровень инфляции за период

J – индекс инфляции за срок

N – кол-во периодов инфляции за срок

В банках инфляцию учитывают двумя способами:

1. Индексация первонач. суммы, когда первоначал. Сумма долга периодически индексируется согласно заранее оговоренному индексу:

S=P*J *(1+iпр*n) – простая ставка; S=P*J *(1+iсл)ⁿ - сложная ставка, где

S - наращенная сумма с учетом инфляции (учитывающая все потери от инфляции)

P- первоначальная сумма

N – срок долга

i – нетто-ставка, т.е. реальная доходность оп-ции независимо от инфляции

2. Индексация %ой ставки, когда % начис-ся по брутто-ставке, которая образуется за счет прибавления к реальной доходности инфляционной премии, учитывающей все потери от инфляции.

S=P*(1+i*n); S=P*(1+i)ⁿ, где

i - брутто-ставка, т.е. реальная доходность + инфляционная премия

чтобы найти брутто – ставку составляют уравнение эквивалентности Фишера, в котором приравнивают результаты учета инфляции

1. простая брутто - ставка

P*(1+i*n)=P*J*(1+iпр*n)

1+i*n=J*(1+iпр*n); - уравнение Фишера

i=J*(1+iпр*n) –1

n

2. сложна брутто - ставка

P*(1+ i)ⁿ=P*J*(1+iсл)ⁿ

(1+ i)ⁿ=J(1+iсл)ⁿ - уравнение Фишера

i=(1+iсл)*

10. понятие эквивалентности процентных ставок. Формулы эквивалентности для простой и сложной, простой и учетной. Сложной и номинальной ставок.

Эквивалентные ставки – это ставки разного вида, которые в однотипных операциях приводят к одинаковому результату. Замена в договоре одной ставки на эквивалентную ей не приводит к изменению результатов оп-ции. В качестве результатов можно рассматривать наращенную сумму, сумму % или множитель наращения. Формулы для эквивалентных ставок получают из уравнения эквивалентности в котором приравнивают результаты оп-ций:

1. Эквивалентность простой и сложной ставок

Sпр=Sсл

P(1+iпр*n)=P(1+iсл)ⁿ

1+iпр*n=(1+iсл)ⁿ

iпр=(1+iсл)ⁿ-1/n; iсл=

2. Эквивалентность сложной и номин. ставок

Sсл = Sном

P*(1+iсл)ⁿ = P*(1+j/m)^n*m

1+iсл = (1+j/m)^m - уравнение эквивалентности

iсл=(1+j/m)^m-1;

3. Эквивалентность простой и учетной ставок

Sпр=Sуч

P*(1+iпр*n)=P(1-d*n)

1+iпр*n=1/(1-d*n) – уравнение эквивалентности

iпр=d/(1-d*n)

d=iпр/(1+iпр*n)

эквивалентные ставки просты и сложных процентов называются доходность операции.

Доходность нескольких однотипных операций находят в виде средней ставки.

Средняя ставка – это эквивалентная ставка простых процентов, которая дает тот же результат, что и фактические ставки по операциям.

В качестве результата удобно рассматривать сумму процентов.

P1*i1*n1+P2*i2*n2+…=P1*iэкв*n1+P2*iэкв*n2+…

P1*i1*n1+P2*i2*n2+…=iэкв*(P1 *n1+P2 *n2+…)

iэкв=(P1*i1*n1+P2*i2*n2…)/(P1*n1+P2*n2…)

Получили формулу средней арифмет. взвешенной: х=хff, где f=P*n, поэтому эквивалентную ставку и называют средней ставкой iср=P*i*n/P*n

где P( P1, P2…) - первонач. сумма долга

iср – средняя ставка

i (i1, i2) – фактические ставки по операциям

n (n1, n2) – сроки операции