- •1. Естествознание. История естествознания.
- •2. Основные теории (концепции) естествознания.
- •1. Физика
- •5.Биология
- •3. Физика. Классическая механика.
- •4. Специальная теория относительности.
- •5. Общая теория относительности.
- •6. Квантовая физика. Гипотеза Планка. Уравнение Шредингера.
- •2. (Правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон.
- •7. Квантовая теория поля. Виртуальный механизм взаимодействия элементарных частиц. Спин.
- •8. Изотопический спин. Типы взаимодействий. Объединение типов взаимодействий.
- •9. Классификация элементарных частиц.
- •10. Калибровочная инвариантность. Спонтанное нарушение симметрии.
- •11. Иерархия познания и группа симметрий. Симметрия и законы сохранения.
- •12. Классическая космология.
- •13. Теория «инфляционной вселенной».
- •14. Химия. Стехиометрические законы. Строение атома. Заполнение электронных оболочек.
- •15. Взаимодействие между атомами и молекулами. Молекулярные связи.
- •16. Геология. Геологическое время и его измерение.
- •17. Строение Земли.
- •18. Эволюция Земли.
- •19. История развития геологических теорий.
- •20. Биология. Происхождение и эволюция жизни. Вещественная основа жизни.
- •21. Земля в период возникновения жизни.
- •22. Начало жизни на земле
- •23. Свойства живой системы.
- •24. Структура нуклеиновых кислот.
- •25. Структура и функции белков.
- •26. Строение и разновидности клеток.
- •27. Модели динамики популяций.
- •28.Эволюция. Теории эволюции.
- •Случайна ли эволюция?
- •29. Геобиологические циклы. Составляющие биосферы.
- •30. Адаптация популяций в биоценозах.
- •31. Ресурсы и численность населения Земли.
- •32. Основные понятия моделирования и математического моделирования.
- •33. Модель Франка сердечно-сосудистой системы.
- •34. Математическое моделирование фармакокинетических процессов. Основные понятия.
- •35. Фармакокинетические модели при различных способах введения лекарственных веществ.
- •1 Способ. Однократное введение лв (инъекция)
- •2 Способ. Непрерывное введение препарата с постоянной скоростью (инфузия).
- •3 Способ. Сочетание непрерывного введения лв(2 способ) с введением нагрузочной дозы (1 способ).
- •36. Траектория всплытия подводной лодки.
- •37. Колебания колец Сатурна.
- •38. Движение шарика, присоединенного к пружине.
- •39. Иерархия моделей. Различные варианты действия заданной внешней силы.
- •40. Движение точки крепления. Две пружины.
- •41. Учет сил трения.
- •42. Два типа нелинейных моделей системы «шарик-пружина».
- •43. Общая схема принципа Гамильтона.
- •44. Получение модели «шарик-пружина» с помощью принципа Гамильтона.
- •45. Колебание маятника в поле сил тяжести.
- •46. Использование принципа Гамильтона для построения моделей механических систем (добавление постоянной внешней силы в систему «шарик-пружина»).
- •47. Жидкость в u-образном сосуде.
- •48. Электрический колебательный контур.
- •49. Малые колебания при взаимодействии двух популяций.
- •50. Динамика скопления амеб.
41. Учет сил трения.
В рассматриваемой системе силы трения могут появиться, по крайней мере, из-за двух причин. Первая из них - неидеальность поверхности шарика и плоскости, по которой он двигается. В этом случае сила трения, где - коэффициент трения, - вес шарика. Эта сила всегда направлена против движения шарика, ее знак противоположен знаку скорости шарика , т.е. .
Движение шарика подчиняется уравнению
Внешне уравнение похоже на уравнение с постоянной силой . Однако из-за знакопеременности силы оно не сводится к стандартному уравнению колебания. В частности, амплитуда колебаний шарика уменьшается со временем. Перепишем уравнение, заменив в нем
или .
Умножим обе части уравнения на
или .
Последнее уравнение эквивалентно уравнению
Слева в круглой скобке стоит сумма кинетической и потенциальной энергии , а в правой значение всегда отрицательное при , т.е.
при , при .
Следовательно, полная энергия убывает со временем. Поскольку в момент достижения шариком максимальной амплитуды его скорость и кинетическая энергия равны нулю, то в эти моменты . И в силу убывания амплитуда также убывающая функция времени.
Рассмотрим результат действия силы трения, возникающей из-за сопротивления среды, в которой движется шарик (воздух, вода). В этом случае сила трения существенно зависит от скорости движения, и эта зависимость описывается формулой Стокса:
,
где коэффициент определяется размерами шарика, плотностью среды и т.д.
Уравнение движения в вязкой среде имеет вид
(1)
Покажем, что движение происходит с затуханием.
или , где .
Умножим обе части уравнения на
или ,
что эквивалентно
или
при , при . Полная энергия убывает со временем, следовательно, так как в моменты достижения максимальной амплитуды скорость и кинетическая энергия равны нулю, то потенциальная энергия равна полной, и в силу убывания движение происходит с затуханием ( - убывающая функция времени). Решим его. (1)
Сделаем замену переменных
;
.
Подставляем
.
Сокращаем на
.
Приведем данное уравнение к базовому. Положим , откуда .
Тогда получим
или .
Введем обозначение . Уравнение примет вид
В этом уравнении величина может менять знак в зависимости от параметров .
При малой вязкости, то есть при решение имеет вид
,
и для имеем , где , а постоянные , находятся через .
В системе происходят затухающие со временем колебания с частотой .
Если , то очевидно . Для с учетом начальных данных получаем
.
В данном случае колебания отсутствуют благодаря подавляющему действию сил вязкого трения. Система может лишь один раз пройти точку , для чего необходимо и достаточно выполнение условий
или .
То есть начальная скорость шарика должна быть достаточно велика и направлена к точке . При этом скорость шарика может менять знак лишь один раз.
Наконец, при большой вязкости действие силы трения настолько значительно, что для любых , шарик никогда не проходит точку , а лишь односторонне приближается к ней при .
Действительно, при решение уравнения (4.3.4) знакопостоянно, следовательно, величина также не меняет знак.