- •1. Естествознание. История естествознания.
- •2. Основные теории (концепции) естествознания.
- •1. Физика
- •5.Биология
- •3. Физика. Классическая механика.
- •4. Специальная теория относительности.
- •5. Общая теория относительности.
- •6. Квантовая физика. Гипотеза Планка. Уравнение Шредингера.
- •2. (Правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон.
- •7. Квантовая теория поля. Виртуальный механизм взаимодействия элементарных частиц. Спин.
- •8. Изотопический спин. Типы взаимодействий. Объединение типов взаимодействий.
- •9. Классификация элементарных частиц.
- •10. Калибровочная инвариантность. Спонтанное нарушение симметрии.
- •11. Иерархия познания и группа симметрий. Симметрия и законы сохранения.
- •12. Классическая космология.
- •13. Теория «инфляционной вселенной».
- •14. Химия. Стехиометрические законы. Строение атома. Заполнение электронных оболочек.
- •15. Взаимодействие между атомами и молекулами. Молекулярные связи.
- •16. Геология. Геологическое время и его измерение.
- •17. Строение Земли.
- •18. Эволюция Земли.
- •19. История развития геологических теорий.
- •20. Биология. Происхождение и эволюция жизни. Вещественная основа жизни.
- •21. Земля в период возникновения жизни.
- •22. Начало жизни на земле
- •23. Свойства живой системы.
- •24. Структура нуклеиновых кислот.
- •25. Структура и функции белков.
- •26. Строение и разновидности клеток.
- •27. Модели динамики популяций.
- •28.Эволюция. Теории эволюции.
- •Случайна ли эволюция?
- •29. Геобиологические циклы. Составляющие биосферы.
- •30. Адаптация популяций в биоценозах.
- •31. Ресурсы и численность населения Земли.
- •32. Основные понятия моделирования и математического моделирования.
- •33. Модель Франка сердечно-сосудистой системы.
- •34. Математическое моделирование фармакокинетических процессов. Основные понятия.
- •35. Фармакокинетические модели при различных способах введения лекарственных веществ.
- •1 Способ. Однократное введение лв (инъекция)
- •2 Способ. Непрерывное введение препарата с постоянной скоростью (инфузия).
- •3 Способ. Сочетание непрерывного введения лв(2 способ) с введением нагрузочной дозы (1 способ).
- •36. Траектория всплытия подводной лодки.
- •37. Колебания колец Сатурна.
- •38. Движение шарика, присоединенного к пружине.
- •39. Иерархия моделей. Различные варианты действия заданной внешней силы.
- •40. Движение точки крепления. Две пружины.
- •41. Учет сил трения.
- •42. Два типа нелинейных моделей системы «шарик-пружина».
- •43. Общая схема принципа Гамильтона.
- •44. Получение модели «шарик-пружина» с помощью принципа Гамильтона.
- •45. Колебание маятника в поле сил тяжести.
- •46. Использование принципа Гамильтона для построения моделей механических систем (добавление постоянной внешней силы в систему «шарик-пружина»).
- •47. Жидкость в u-образном сосуде.
- •48. Электрический колебательный контур.
- •49. Малые колебания при взаимодействии двух популяций.
- •50. Динамика скопления амеб.
42. Два типа нелинейных моделей системы «шарик-пружина».
Формула Стокса справедлива, строго говоря, только для установившихся движений, когда действие постоянной внешней силы уравновешивается силой вязкого трения так, что в итоге тело перемещается с постоянной скоростью. Вполне возможны ситуации, при которых сила сопротивления вязкой среды при малых скоростях меньше, а при больших скоростях больше, чем вычисляемая по формуле Стокса; например,
(10)Это нелинейное уравнение, его полное аналитическое решение выписать нельзя. Выражая полную энергию, можно показать затухающий характер системы. Кроме того, в крайних точках можно установить колебательный характер движения шарика в этом случае.
Еще один тип нелинейности может обусловливаться изменяющимися механическими свойствами пружины. Закон Гука действителен лишь при малых отклонениях (деформациях) пружины от ненагруженного нейтрального положения. При заметных деформациях пружина, в зависимости от материала, из которого она изготовлена, и величины деформации, может вести себя как «мягкая», и тогда сила натяжения будет меньше, чем полагается по закону Гука (в случае «жесткой» пружины — наоборот). Жесткость пружины в такой ситуации становится функцией координаты, т. е. K = K (r), и уравнение движения принимает вид
(11)
Уравнение нелинейное. Например, если то
пружина мягкая. В отличие от (10), можно выписать (неявное) решение для (11) с двукратным использованием квадратуры.
Это означает консервативность движения, описываемого моделью (11), или постоянство полной энергии системы. Т.е. в этом случае получаем незатухающие, но не гармонические колебания.
Приведенные построения демонстрируют иерархическую цепочку модели системы «шарик - пружина», получающихся одна из другой при последовательном отказе от предположений, идеализирующих изучаемый объект. В одних случаях усложнение не вносит ничего нового в поведение системы (постоянная внешняя сила), в других ее свойства меняются существенным образом.
Данный путь дает возможность изучать все более реалистичные модели и сравнивать их свойства. Существует и другой путь построения и изучения моделей – от общего к частному.
Опираясь на эту общую модель, можно, проводя соответствующие
конкретизации, последовательно получать и изучать более простые
модели. Данный подход также широко применяется, в том числе и потому,
что позволяет сразу установить некоторые общие свойства объекта,
конкретизируя и дополняя их в частных ситуациях.
43. Общая схема принципа Гамильтона.
Еще один подход к построению моделей, по своей широте и универсальности сопоставимый с возможностями, даваемыми фундаментальными законами, состоит в применении так называемых вариационных принципов. Они представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе, явлении) и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения (движения, эволюции) выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при его переходе из одного состояния в другое.
Сформулированные применительно к какому-либо классу явлений вариационные принципы позволяют единообразно строить соответствующие математические модели. Их универсальность выражается также в том, что, используя их, можно в определенной степени отвлекаться от конкретной природы процесса.
Общая схема принципа Гамильтона
Пусть имеется механическая система, все элементы которой и взаимодействия между ними определяются законами механики. Обобщенные координаты Q(t) полностью определяют положение механической системы в пространстве. Величина Q(t) м.б. декартовой координатой, набором координат материальных точек, составляющих систему. Величину естественно назвать обобщенной скоростью механической системы в момент времени . Набор величин и определяет состояние механической системы во все моменты времени.
Для описания механической системы вводится функция Лагранжа. В простейших случаях функция Лагранжа имеет ясный смысл и записывается в виде
где и - кинетическая и потенциальная энергии системы соответственно. Введём величину , называемую действием по Гамильтону
Данный интеграл является функционалом от обобщённой координаты , заданной на отрезке . Он ставит ей в соответствие некоторое число .
Принцип Гамильтона для механической системы гласит: если система движется по заданным законам механики, то - стационарная функция для или
Функция - некоторая пробная функция, обращающаяся в нуль в моменты и удовлетворяющая тому условию, что - возможная координата данной системы.
Смысл принципа в том, что для всех априори мыслимых движений системы между моментами и выбирается движение, доставляющее минимум функционалу действия.
Функция называется вариацией величины .
Примеры использования принципа Гамильтона рисуют весьма четкую последовательность действий; универсальность, строго формализованные последовательные процедуры, не зависящие от деталей конкретной системы, безусловно, привлекательная черта вариационных принципов.