- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
29.Деякі важливі границі:
1. Нехай ,тоді , якщо , то , маємо
2. Нехай ,тоді , якщо , то , маємо
3.
Елементарні ф-ції
Ел-ми ф-ми називають фун-ції які утв-ся з осн-х елементарних ф-цій за допомогою скінченого числа арифм. Ф-цій і суперпозицій. Оск. основні елементарні функції неперервні у всіх точках в яких вони визначені, то теореми про операції над неперервними ф-ціями і неперервності складної ф-ції слідує теорема(Всяка елементарна ф-ція неперервна в кожній точці в якій вона визначена)
4.
При доведенні даної рівності ми застосували правило граничного переходу для неперервної ф-ції.
5.
6.
Оск. Показникові ф-ція неперервна, то якщо . Маємо
7.
8.
Оск. лог ф-ція неперервна то при маємо 30.Похідна ф-ції в точці. Механічний і фізичний зміст похідної.
Розглянемо задачу про швидкість матер-ї точки.
Нехай точка рух-ся нерівномірно вздовж даної прямої і нехай шлях цієї точки є ф-цією від t.
Нехай з моменту часу t пройшов деякий час , за який точка з положення в положення , пройшовши шлях .
За час точка пройшла шлях
. Середньою швидкістю матеріальної точки за проміжок часу
, при чому чим менший є проміжок відносно моменту часу t тим точніше середня швидкість відповідає швидкості руху точки у даний момент часу.
Істинну (миттєву) швидкість руху точки знаходять як границю , якщо , тобто Нехай ця ф-ція визначена на деякому проміжку.
Візьмемо т. з цього проміжку і надамо її приріст , але так щоб належала ОВ, тоді ф-ція буде мати приріст
Озн. Похідною ф-ції в т. називається границя відношення приросту ф-ції в цій точці до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до 0.
З означення похідної випливає, що швидкість у даний момент часу є похідна від пройденого шляху по .
у цьому полягає механічний зміст похідної.
Узагальнюючи можна сказати, що коли ф-ція описує деякі процеси, то похідна відображає швидкість зміни цього процесу, у цьому полягає фіз. зміст похідної.
31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
Розглянемо просту неперервну криву, зафіксуємо на ній точку , нехай - довільна точка кривої. Через точки і проведемо пряму (січну).
Озн. Дотичної до даної кривої у точці наз-ся граничне положення січної при умові що точка необмежено наближається до точки , вздовж кривої
Розглянемо деякі криві, що задані у прямокутних координатах рівнянням і в т. знайдемо кут нахилу дотичної до додатного напряму осі .Будемо вважати, що в т. крива має дотичну не перпендикулярну до осі .
Через вказану і довільну проведемо . Позначимо - кут що утв. З додатним напрямком осі січна .
Через -кут нахилу дотичної до ,до додатного напряму осі у т. . Зрозуміло що Очевидно, що коли прямує до 0 , , . Тому
Т.ч. , що утворює дотична в т. з дод. Напрямом осі дорівнює значенню похідної - у цьому полягає геометричний змісь похідної.
З геометрії відомо що рівняння прямої що проходить через т. і кут коеф. К має вигляд , звідси одержимо рівняння дотичної в т.
Озн. Нормаль до кривої в т. - пряма яка проходить через т. перпендикулярно дотичній в цій точці.
З геометрії відомо, що кутові коефіцієнти і двох перпендикулярних прямих відносяться як рівняння нормалі в т.
32.Неперервність і диференційованість
Односторонні похідні визначаються за допомогою односторонніх границь. Нехай ф-ція визначена у деякому околі т. .
Якщо у формулі припустимо що , то відповідну границю називають правою похідною ф-ції в т. . Якщо припустимо що , то відповідну границю наз-ть лівою похідн6ою в т.
Праву похідну позначають символом
Ліву похідну позначають символом Якщо визначена на відрізку , то похідною в т. розуміють праву похідну, а в т. - ліву похідну.Коли ф-ція має праву і ліву похідну в т. і ці похідні рівні, то в т. існує похідна , якщо , то похідна в т. не існує. Не існує похідної також в т-ках розриву ф-ції.
Якщо в т. границя , то похідну в цій точці наз-ть нескінченною.
Озн. Ф-ція називається диференційованою в т. якщо вона має похідну .
Ф-ція називається диференційованою на проміжку якщо вона диференційована у кожній точці проміжку.
Приклади.
Теорема: Якщо ф-ція диференційована в т. , то вона неперервна у цій точці.
Доведення: За умовою теореми . За теоремою про необхідну і достаню умову існування границі ф-ції в точці , де якщо , тоді якщо , то . Тобто нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст ф-ції. Тоді за означенням неперервності
ф-ція - неперервна у точці . Теорема доведена.
Зауваження: наведений приклад ф-ції вказує, що твердження обернене до даної теореми взагалі кажучи не виконується: з неперервності ф-ції на проміжку не випливає диференційованість цієї ф-ції у кожній точці данного проміжку.