- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
Достатність
Нехай функція має в точці а границю за Гейне. Припустимо, що в цій точці границя за Коші не існує.
Тобто , це означає що
Розглянемо послідовність Тоді для кожного числа цієї послідовності
Перейдемо у нерівності (3) до границі при , оскільки за теоремою про границю проміжної послідовності , но з нерівності (4) випливає, що послідовність не прямує до А, тобто ми побудували послідовність, що прямує а для якої послідовність відповідних значень функції не прямує до А, це означає, що функція в точці а не має границі за Гейне, що суперечить умові теореми.
Одержана суперечність доводить
достатність.
14.Односторонні границі функції
Означення 1
Число , називають границею функції в точці х=а справа, якщо ця функція визначена у правому - околі точки а.
Для будь-якого завгодно малого
Позначають це так або
Означення 2
Число , називають границею функції в точц х=а зліва, якщо ця функція визначена у лівому - околі точки а, крім можливо самої точки.
Для будь-якого завгодно малого
Запис ,означає, що набуває значень більше від а
Запис ,означає, що набуває значень меньших від а
Якщо а=0, то у цьому випадку односторонні границі ліва і права відповідно позначають
Теорема
Для того щоб функція в очці а мала границю А, необхідно і достатньо, щоб в цій точці існували односторонні границі кожна з яких дорівнювала А.
Доведення
Необхідність
Нехай в точці а функція має границю А , за означенням границі для будь-якого завгодно малого , існує
Нерівність (1) еквівалентна сукупності нерівностей
Достатність
Нехай , тоді за означенням
Тоді, а це означає
Теорема доведена
15.Арефметичні операції над границями функцій
Теорема 1(про границю суми)
Якщо , , де А, В – скінченні числа, то
Доведення
Нехай послідовність
За означенням границі функції за Гейне.
, , тоді за теоремою (про границю суми послідовностей), границя суми дорівнює сумі границь, тобто
Ця рівність доведена для будь-якої послідовності , де
Теорема 2 (про границю добутку):
Якщо , , де А, В – скінченні числа, то
Доведення
Розглянемо послідовність , тоді за означенням границі функції за Гейне ,
За теоремою (про границю добутку послідовностей) границя добутку дорівнює добутку границь
Оскільки ця рівність доведена для будь-якої послідовності , то
Теорема 3(про границю частки)
Якщо , , де А, В – скінченні числа причому то
Доведення
Розглянемо послідовність , тоді за означенням границі функції за Гейне, , , причому
За теоремою (про границю частки послідовностей) границя частки дорівнює частці границь
Оскільки ця рівність доведена для будь-якої послідовності , то
16.Властивість функції, що мають границю
Теорема 1(про єдність границі функції)
Якщо функція має в точці х=а границю, то ця границя єдина
Доведення
Припустимо супротивне , , причому
Розглянемо будь-яку послідовність
Тоді за означенням функції за Гейне одержимо, що послідовність повинна мати дві різні границі А і В але за теоремою про єдність границі послідовності це не можливо. Одержана суперечність доводить теорему.
Теорема 2 (про обмеженістьфункції, що має границю)
Якщо функція має скінченну границю в точці а, то ця функція буде обмеженою у де-якому виколотому околі а.
Доведення
Нехай , за означенням границі функції
Тоді
Отримаємо
Позначимо через , тоді
Теорема доведена.