21.Основні властивості нескінченно малих функцій

Теорема 1

Для того, щоб функція f(х) мала в точці х=а границю А необхідно і достатньо, щоб функція α(х)=f(х)-А була нескінченно малою при х→а.

Доведення: Необхідність: нехай lim_х→а(f(х))=А. За означенням границі: >0 δ=δ()>0: хУ_δ(а) |ѓ(х)-А|. Тобто хУ_δ(а) α(х)=|ѓ(х)-А|. Це означає, що lim_х→аα(х)=0. Тоді функція α(х) за означенням є нескінченно малою. Достатність: нехай α(х)=f(х)-А – нескінченно мала функція. Тоді за означенням lim_х→аα(х)=0. За означенням границі: >0 δ=δ()>0: хУ_δ(а) α(х) . Тобто хУ_δ(а) |ѓ(х)-А|=α(х). Це означає, що lim_х→а(f(х))=А.

Теорема 2 (про суму нескінченно малих функцій)

Сума скінченого числа нескінченно малих функцій при ха є нескінченно мала функція при ха.

Доведення: Розглянемо дві нескінченно малі функції α₁(х) і α₂(х) при ха. У загальному випадку доведення аналогічне. lim_х→аα₁(х)=lim_х→аα₂(х)=0. За означенням границі >0 δ₁=δ₁()>0: хУ_δ1(а) α₁(х) /2 [1] і δ₂=δ₂()>0: хУ_δ2(а) α₂(х) /2 [2]. Позначимо через δ=min{δ₁,δ₂}. Тоді хУ_δ(а) одночасно виконуються нерівності [1] і [2]. За властивістю модуля одержимо: α₁(х)+α₂(х) α₁(х)+α₂(х)</2+/2=, хУ_δ(а). Це означає, що lim_х→а(α₁(х)+α₂(х))=0. Тобто сума α₁(х)+α₂(х) є нескінченно малою функцією.

Теорема 3

Добуток обмеженої, у деякому - околі точки а, функції на нескінченно малу при ха є нескінченно мала функція, при ха.

Доведення: нехай функція обмежена у деякому - околі точки а. Тобто: [3]. Нехай α(х)- нескінченно мала функція при ха. Тобто: [4]. Позначимо через . Тоді одночасно виконуються нерівності [3] i [4]. За властивістю модуля одержимо: . Це означає, що . Тобто функція є нескінченно малою.

Наслідок 1

Добуток двох нескінченно малих функцій при ха, є нескінченно мала функція при ха. Справді, якщо одну з цих функцій розглядати як обмежену, то виконуються умови теореми 3.

Наслідок 2

Добуток нескінченно малої функції при ха на функцію, що має в точці а скінчену границю є нескінченно мала функція.

Теорема 4

Якщо функція α(х) нескінченно мала функція при ха, α(х)0, ха, то функція нескінченно велика, при ха.

Якщо функція (х) нескінченно велика функція при ха, (х)0, ха, то функція нескінченно мала функція при ха.

Доведення: нехай α(х) нескінченно мала при ха. Тоді . Тоді . Тобто і (х) буде нескінченно великою функцією. Обернене твердження доводиться аналогічно.

22.Порівняння нескінченно малих функцій

Нехай α₁(х) і α₂(х) нескінченно малі функції при ха, тобто .

Означення 1

Нескінченно малі функції α₁(х) і α₂(х) називають нескінченно малими одного порядку, при ха, якщо . Це позначають символом . Читається „α₁(х) є о велике від α₂(х)”.

Означення 2

Нескінченно малу функцію α₁(х) називають нескінченно малою вищого порядку у порівнянні з α₂(х), при ха, якщо . Це позначають символом . Читається „α₁(х) є о мале від α₂(х)”.

Означення 3

Нескінченно малу функцію α₁(х) називають нескінченно малою функцією нижчого порядку, ніж α₂(х), при ха, якщо .

Означення 4

Нескінченно малу функцію α₁(х) називають нескінченно малою функцією k-того порядку у порівнянні з α₂(х), при ха, якщо .

Означення 5

Нескінченно малі функції α₁(х) і α₂(х) називають непорівнянними при ха, якщо не існує.

Зауваження

В означеннях 1-5 розглянуті всі можливі випадки, що можуть трапитись при порівнянні двох нескінченно малих функцій в околі точки а. Так само можна визначити порівняння двох нескінченно малих функцій при x→∞, x→+∞, x→-∞, x→a±0. Аналогічно визначається порівняння двох нескінченно великих функцій.