- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
2.Множини
Кантер стверджував, що множина-це багато дечого, мислимого нами як єдине. Об’єкти,що складають множину називають її елементами. Множини позначають велкими буквами, а їч елементи – малими. Вираз а В означає, що елемент а належить множині В.
Означення
Множина, що не містить елементів, називається порожньою. Її позначають символом .
Означення
Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В. Тобто х А В. Це позначають А В.
Зауваження
З означення підмножини випливає, що для кожной множини А А. Крім того будемо вважати, що А
Множина натуральних чисел:
N = {1,2,3,...}
Множина цілих чисел:
Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}
Множина раціональних чисел:
Q = ; m Z, n N
Множина дійсних чисел: IR = { }, де - ціле, невід’ємне число; - цифр десяткової системи числення
N Z Q IR
Означення
Перетином двох множин А і В називається множина С, яка складається з елементів, що одночасно належать і множині А і множині В. Перетин позначають символом .
С=А В
Властивості перетину:
1.А А=А
2. А =
3. А В=В А
4.(А В) С=А (В С)
5.Якщо А В, А В=А
Означення
Множини А і В називають рівними, якщо А В і А В. Позначають А=В
Означення
Об’єднанням двох множин А і В називається множина С, що складається з елементів, які належать хоча б одній з данних множин.
Позначають: С=А В
Властивості перетину:
1. А А=А
2.А =А
3.А В=В А
4.(А В) С=А (В С)
5.А В, то А В=В
6.(А В) С=(А С) (В С)
7.(А В) С=(А С) (В С)
Доведення 7:
Покажемо,що (А В) С (А С) (В С). Нехай х (А В) С, тоді х хоча б одній з множин А В або С. Розглянемо випадок, коли х А В. Тоді х А, х В х А С, х В С. Звідси х (А С) (В С). У випадку, коли х С, х А С, х В С. Звідси х (А С) (В С).
Покажемо тепер, що (А С) (В С) (А В) С. Нехай х (А С) (В С). Звідси х А С і х В С. Якщо х С, то х С (А В). Якщо х С, то одночасно х А, х В. Тому х А В (А В) С.
Означення
Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з елементів множини А, яких немає в множині В.
Позначення: С=А \ В
Використовуючи позначенняалгебри множин - окіл точки а можна записати у вигляді: (а)={x IR: a - <x<a + }
Означення
Якщо з - окілу точки а виключити саму точку а, то одержана множина називається виколотим - околом точки а.
Позначення: (а) = (а) \ {a}
3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
Означення
Змінною називається величина, яка набуває різних числових значень. Приклад: (Температура повітря; a <x <100)
Означення
Якщо величина набуває тільки одне значення, її називають сталою. Приклад: (Відношення довжини кола до його діаметра для будь-якого кола є стала величина, що дорівнює .
Знчення, що набуває змінна величина утворюють область зміни цієї величини. Ці значення мають властивість упорядкованості, тобто для будь-яких х’ і х’’ виконуєтьсяодне з трьох співвідношень:
1.х’< х’’
2.х’= х’’
3.х’> х’’
Крім того множина дійсних чисел має властивість щільності, яка полягає в тому, що між двома різними дійсними числіми знайдеться хоча б одне дійсне число.
Модуль величини.
Нагадаємо означення модуля:
Геометрично модуль лійсного числа дорівнює відстані від точки, що зображує данне число на числовій осі до початку координат.
Властивості:
1. 0
2. 0
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Доведення 6:
1.
2.