9.Арефметичні операції над границями послідовностей
Теорема 1 (про границю суми)
Якщо
,
,
то
має
границю
Доведення
За теоремою 3 (про необхідну і достатню умови існування границі послідовностей)
Маємо
,
де
-нескінченно
малі послідовності, тоді
Оскільки
-нескінченно
мала (як сума двох нескінченно малих
послідовностей), то за теоремою 3
Теорема 2 (про границю добутку)
Якщо
,
,
то
має
границю
Доведення
Доведення аналогічне доведенню попередньой теореми
Зауваження:
Теорему 2 можна узагальнити для скінченного числа співмножників.
Наслідок:
Сталий множник можна виносити за знак границі
Лема:
Якщо
(
)має
скінченну границю відмінну від “0”, то
послідовність
-
обмежена
Доведення
Нехай
За означенням границі
або
Ми
розглядаємо випадок коли
Позначимо
через
Серед
скінченного числа чисел вибиремо
найбільше
,
тоді
-обмежена
за означенням
Випадок
коли
доводится
аналогічно попередньому
Теорема 3(про границю частки):
Якщо
,
,
де (
,
то існує границя частки
Доведення
За теоремою про необхідну і достатню умову існування границі послідовності, маємо
і - нескінченно малі послідовності.
Розглянемо
,
де
За
лемою оскільки послідовність
має
скінченну відмінну від 0 границю, то
послідовність
-обмежена,
крім того послідовність
нескінченно
мала, як різниця двох нескінченно малих
послідовностей, таким чином послідовність
є
нескінченно малою, як добуток обмеженоє
послідовності га нескінченно малу.
10. Монотонні послідовності
Озн 1
-називається
спадною, якщо
Озн 2
-називається
не спадною, якщо
Озн 3
-називається
зростаючею, якщо
Озн 4
-називається
не зростаючею, якщо
Озн
Послідовності вказані в озн (1) - (4) називаються монотонними послідовностями
Приклад
Довести,
що
-зростаюча
Зауваження
Поняття монотонності можно поширити і на неперервій змінній.
Нагадаємо,
що множина Е називається обмеженою
Множина
Е – називається обмеженою зверху, якщо
Множина
Е – називається обмеженою знизу, якщо
Зрозуміло, що коли множина Еобмежена, то вона обмежена зверху і знизу і навпаки.
Означення
Точною
верхньою гранню множини дійсних чисел
Е називається число М, таке, що
Точна верхня грань позначається символом:
Означення
Точна нижньою гранню множини дійсних чисел Е називається число m, таке що, для
1.
2.
Точну нижню грань позначаємо символом:
Лема
Якщо не порожня множина Е дійсних чисел обмежена зверху, то вона має точну верхню грань, якщо вона обмежена знизу, то вона має точну нижню грань.
Теорема 1
Якщо послідовність зростаюча( або неспадна) і обмежена зверху, вона має границю
Доведення
Нехай обмежена зверху числом А, тоді згідно з лемою.
за означенням точної верхньої грані:
Оскільки
послідовність
-
зростаюча, для
виконується
нерівність
Або
Тобто
за означенням
Теорема доведена.
Теорема 2
Якщо послідовність спадає( або не зростає) і обмежена знизу вона має границю.
Доведення
Доведення аналогічне попередньому.