4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
Означення
Якщо
кожному натуральному числуза певним
правилом або законом поставлено у
відплвідальність число або змінна
величина, то кажуть, що множина останніх
утворює послідовність:
або
{
}
Величини називають членами послідовності, - загальним членом.
Послідовність, членами якої є числа називається числовою. Приклад:
{2n+1}
= {3,4,7,…} {2
}
= {2,8,18,…}
Нехай задана послідовність { }. Число а називають границею послідовності { } якщо для будь-якого додатнього числа знайдеться натуральне число N (що залежить від ) таке, що всі члени послідовності з номерами більшими від N задовольняють нерівності:
(1)
Скорочено
це можна записати так:
Границю
позначають
або
,
або
;
використовуючи властивість модуля 7,
нерівність 1
можна подати у вигляді:
або
Геометрично позначення границі послідовності можна тлумачити таким чином:
Зобразимо - окіл точки а, тобто (а - , а + ) і побудуємо послідовність { }. Число а буде границею послідовності, якщо існує таке натуральне число N, що всі члени послідовності { }, починаючи з n > N опиняться у (а)
Тобто яким би малим ми не взяли число , в (а) опиниться нескінченна кількість членів послідовності { }, а ззовні його – хіба лише скінченна кількість членів цієї послідовності.
Означення
Якщо { } має границю а, то її називаютьзбіжну до числа а.
Приклад:
Довести,
що послідовність
збігається до нуля. Щоб довести це
твердження, розглянемо функцію. Будь-яке
дійсне число х
чожна подати у вигляді х=у+
,
де у
,
(0,1), тоді на множині дійсних чисел
визначена функція, яку називають цілою
частиною х
і позначають символом у
= [х]
Приклад:
[0,5]=0; [5,3]=5
Доведення:
Візьмемо
будь-яке
>
0. Нехай N=[
].
Розглянемо n
> N.
Тобто n
N+1.
Зрозуміло, що N
N+1.
Розглянемо
.
Таким чином за означенням
Означення
Границею змінної називається границя будь-якої послідовності значень, яких набуває ця змінна.
Зауваження:
1. Далі будемо розглядати не тільки границю послідовності, а і границю змінної. Одержані рзультати можна формулювати однаково.
Термін „змінна” використовують тоді,коли величина набуває своїх значень непервно. Наприклад: швидкість, час. Термін „послідовність” використовують тоді, коли величина набуває своїх значень дискретно, тобто стибками.
Розглянемо границю сталої с. Її границя дорівнює с, оскільки сталу можна розглядати як послідовність, всі членя якої дорівнюють цій сталій.
5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
Теорема 1
Якщо послідовність має границю, то ця границя – єлина
Доведення:
Нехай
послідовність {
}
має 2 границі:
,
,
.
Припустимо, що a
< b.
Розглянемо
.
За означенням границі, для вказанной
існує номер:
,
або a
-
<
<a
+
(1)
,
або b
-
<
<b
+
(2)
Нехай
N=max{
}
і
N
– найменшне з двох чисел, тоді
N
одночасно виконуються нерівності (1) і
(2),
тобто такі члени послідовності одночасно
повинні опинитися як у
-
околі точки а,
так і у
-
околі точки b.
Але це неможливо, бо
(а)
(b)
=
Одержана суперечність доводить теорему.
Означення
Послідовність
{
}
називається обмеженою, якщо існує таке
число:
Геометрично це означає, що всі члени послідовності { } повинні знаходитися у відрізку [-M, M]
Означення
Послідовність, що не є обмеженою називається нобмеженною.
Означення
Послідовність
{
}
називається обмеженою зверху, якщо
існуєтаке дійсне число А,
що
А.
Аналогічно визначається послідовність,
що обмежена знизу: тобто, якщо існує
дійсне число В,
що
В.
Зрозуміло, що коли послідовність
обмежена, вона одночасно обмежена і
зверху і знизу, і навпаки. Приклад:
послідовність обмежена тому що
;
змінна х,
така що
обмежена, оскільки
,
М=mах{
,
};
послідовність {
}
– необмежена.
Теорема 2
Якщо послідовність має границю, то ця послідовність обмежена.
Доведення:
Розглянемо
послідовність {
}
таку, що
.
За означенням границі
або
.
Це означає, що починаючи з номера n=N+1,
всі членипослідовності {
}
опиняться у
(а).
Позначимо через М’
=
mах{
}.
Тоді
< М’,
Серед скінченного числа чисел виберемо
найбільше: М=mах{
,
М’}.
Тоді
< М,
.
За означенням послідовность {
}
обмежена.
Зауваження:
Обернене
твердження не використовується.
Наприклад: послідовність
обмежена, але не має границі