Вопрос 41. Идеализированные реактивные элементы (индуктивность,

емкость) при гармоническом воздействии. Вывод уравнений для характеристик мощности и энергии.

Емкость

Емкостью называется идеализированный элемент электрической цепи, обладающий свойством запасать энергию электрического поля, причем запасания энергии магнитного поля или преобразования электрической энергии в другие виды энергии в ней не происходит. По свойствам к идеализированному элементу - емкости - наиболее близки реальные элементы - конденсаторы.

Условное графическое, обозначение емкости приведено на рис. 1.4.

.

Рис. 1.4. Условное графическое обозначение емкости

Рис. 1.5. Кулон-вольтные характери-стики емкости: 1-нелинейная; 2-линейная

Зависимость заряда q, накопленного в емкости, от напряжения u_C, называемая кулон-вольтной характеристикой, имеет в общем случае, нелинейный характер (рис. 1.5, кривая 1).

Количественно зависимость заряда, накопленного в емкости, от напряжения оценивают значениями статической и динамической емкостей: C_СТ = q/u и C_ДИН = dq/duВ общем случае динамическая емкость не равна статической. Если зависимость заряда от напряжения имеет линейный характер (рис. 1.5, кривая 2), то значения динамической и статической емкостей равны и не зависят от напряжение: C_СТ = C_ДИН = С.

В системе единиц СИ емкости С, С_СТ и С_ДИН выражают в фарадах (Ф).

Емкость, значение которой не зависит от напряжения, называется линейной; емкость, значение которой зависит от напряжения, - нелинейной i_C = dq/dt = (dq/du_C)(du_C/dt).

Т.к С = dq/du_C = q/u_C, получаем

Следует:

Пусть наблюдение процессов в емкости началось в момент времени t = t₀. Напряжение емкости в началный момент

Р азбивая интеграл на два:

н аходим напряжение на емкости в произвольный момент времени t:

Мгновенная мощность емкости:

Если u_C > 0 и убывает, т.е. dи_C/dt < 0, то мгновенная мощность емкости отрицательна. Емкость при этом разряжается, т.е. отдает накопленную энергию во внешнюю цепь.

Энергия электрического поля, запасенная емкостью в произвольный момент времени t, определяется напряжением емкости или ее зарядом:

Индуктивность

Индуктивностью называется идеализированный элемент электрической цепи, в котором происходит запасание энергии магнитного поля. Запасания энергии электрического поля или преобразования электрической энергии в другие виды энергии в ней не происходит. Наиболее близким к идеализированному элементу - индуктивности - является реальный элемент электрической цепи - индуктивная катушка. Количественно способность реального и идеализированного элементов электрической цепи запасать энергию магнитного поля характеризуется параметром, называемым индуктивностью.

Связь между напряжением и током в индуктивной катушке определяется законом электромагнитной индукции, из которого следует, что при изменении магнитного потока, пронизывающего индуктивную катушку, в ней наводится электродвижущая сила е, пропорциональная скорости изменения потокосцепления катушки Ψ и направленная таким образом, чтобы вызываемый ею ток стремился воспрепятствовать изменению магнитного потока:

Потокосцепление катушки равно алгебраической сумме магнитных потоков Φ_i, пронизывающих ее отдельные витки:

где N - число витков катушки.

Е сли магнитный поток, пронизывающий все витки катушки, одинаков (Ф₁ = Ф₂ = … = Ф_N = Ф), выражение приводится к виду:

В системе единиц СИ магнитный поток и потокосцепление выражают в веберах (Вб).

Потокосцепление катушки Ψ, так же как и магнитный ноток Φ, может быть представлено в виде суммы двух составляющих: потокосцепления самоиндукции Ψ_СИ , и потокосцепления внешних полей Ψ_ВП

Н аведенная в индуктивной катушке э.д.с. е, в свою очередь, может быть представлена в виде суммы э.д.с. самоиндукции, которая вызвана изменением магнитного потока самоиндукции, и э.д.с., вызванной изменением магнитного потока внешних по отношению к катушке полей:

Здесь e_СИ - э.д.с. самоиндукции; е_ВП - э.д.с. внешних полей.

З начения L_СТ и L_ДИН в общем случае не равны между собой и зависят от выбора рабочей точки (значения тока i_L). При линейной зависимости потокосценлеиия самоиндукции от тока статическая и динамическая индуктивности катушек равны и не зависят от выбора рабочей точки: L_СТ = L_ДИН = L.

В системе единиц СИ индуктивности L_СТ, L_ДИН и L выражают в генри (Гн).

Для катушки с линейной индуктивностью выражение может быть преобразовано к виду

При известном значении i_L(t₀) интегрирование в пределах от -∞ до t может быть заменено интегрированием в пределах от t₀ до t:

Мгновенная мощность индуктивности p_L определяется произведением мгновенных значении тока i_L и напряжения u_L:

будет положительной в моменты времени, когда индуктивность потребляет энергию от остальной части цепи (i_L и u_L имеют одинаковый знак). В моменты времени, когда i_L и u_L имеют различные знаки, индуктивность отдает запасенную ранее энергию остальной части цепи, т.е. p_L < 0.

Энергия, запасенная в индуктивности в произвольный момент времени t:

1

Здесь и в дальнейшем индексы «А» и «Б» присвоены всем величинам, относящимся к элементарным четырехполюсникам А и Б.