- •А.А. Халафян
- •Лекция 1. Теории вероятностей. История возникновения. Классическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Статистическое, геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Последовательность испытаний. Формула Бернулли
- •Лекция 3. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Аксиоматика колмогорова
- •Лекция 4. Случайная величина. Функция распределения
- •Основные свойства функции распределения
- •X1 x2 … xn …, причём xn→-∞, n→∞.
- •Лекция 6. Интегральная теорема муавра–лапласа, теорема бернулли
- •Лекция 7. Непрерывные случайные величины
- •Свойства непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение
- •Экспоненциальное распределение
- •Нормальное распределение
- •Лекция 8. Понятие многомерной случайной величины
- •Аналогично закон распределения y имеет вид
- •Лекция 9. Функция распределения многомерной случайной величины
- •Плотность вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 10. Свойства плотности вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 11. Функции от случайных величин
- •Лекция 12. Теорема о плотности суммы двух случайных величин
- •Лекция 13. Распределения стьюдента, фишера .Числовые характеристики случайных величин
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания случайной величины
- •Лекция 14. Числовые характеристики случайных величин (продолжение)
- •Другие характеристики центра группирования случайной величины
- •Характеристики вариации случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Свойства среднеквадратического отклонения
- •Лекция 15. Вычисление дисперсии основных распределений
- •Лекция 16. Числовые характеристики меры связи случайных величин
- •Лекция 17. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство чебышева. Закон больших чисел
- •Неравенство Чебышева
- •Закон больших чисел
- •Закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Лекция 18. Центральная предельная теорема
- •Лекция 19. Математическая статистика. Предмет математической статистики. Вариационные ряды
- •Лекция 20. Средние величины. Показатели вариации
- •Свойства среднего арифметического
- •Показатели вариации (изменчивости) вариационного ряда
- •Свойства дисперсии
- •Статистическая выборка
- •Лекция 21. Оценка параметров генеральной совокупности
- •Лекция 22. Точечные и интервальные оценки параметров распределения Метод наибольшего правдоподобия
- •Метод моментов
- •Интервальная оценка
- •Лекция 23. Проверка статистических гипотез
- •Лекция 24. Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •Проверка гипотезы о законе распределения
- •Лекция 25. Элементы регрессионного и корреляционного анализов
- •Линеаризующие преобразования
- •Линейный множественный регрессионный анализ
- •Множественный корреляционный анализ
- •Библиографические ссылки
Экспоненциальное распределение
Определение 6. Непрерывная случайная величина Х, принимающая неотрицательные значения, имеет экспоненциальное распределение с параметром , если плотность распределения имеет следующий вид:
. (3)
Можно показать, что (сделать самостоятельно).
Функция распределения случайной величины Х равна
, т.е.
. (4)
Если случайная величина Х распределена по экспоненциальному закону, то
P(a x b) = F(b) – F(a) = e-a – e-b (показать самостоятельно).
Графики плотности и функции распределения приведены на рис. 2.
Рис. 2
Нормальное распределение
Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, , если
, >0. (5)
Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х N(a;).
Покажем, что p(x) – плотность
(показано в лекции 6).
График плотности нормального распределения (рис. 3) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Рис.3
Плотность распределения симметрична относительно прямой х = a. Если х , то р(х) 0. При уменьшении график «стягивается» к оси симметрии х = a.
Нормальное распределение играет особую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Это связано с тем, что в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при выполнении определенных условий сумма большого числа случайных величин имеет «примерно» нормальное распределение.
Так как – плотность нормального закона распределения с параметрами а = 0 и =1, то функция = Ф(х), с помощью которой вычисляется вероятность , является функцией распределения нормального распределения с параметрами а = 0 и =1.
Функцию распределения случайной величины Х с произвольными параметрами а, можно выразить через Ф(х) – функцию распределения нормальной случайной величины с параметрами а = 0 и =1.
Пусть Х N(a;), тогда
. (6)
Сделаем замену переменных под знаком интеграла , получим
=
F(x) = . (7)
В практических приложениях теории вероятностей часто требуется найти вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного отрезка . В соответствии с формулой (7) эту вероятность можно найти по табличным значениям функции Лапласа
. (8)
Найдем медиану нормальной случайной величины Х N(a;). Так как плотность распределения р(х) симметрична относительно оси х = а, то
р(х < a) = p(x > a) = 0,5.
Следовательно, медиана нормальной случайной величины совпадает с параметром а:
Х0,5 = а.
Задача 1. Поезда в метро идут с интервалом в 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Х, в течение которого ему придется ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределенную с равномерной плотностью на участке (0, 2) мин. Найти вероятность того, что пассажиру придется ждать ближайший поезд не более 0,5 мин.
Решение. Очевидно, что p(x) = 1/2. Тогда, Р0,5 = Р(1,5<X<2) = = 0,25
Задача 2. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Предполагается, что средняя длина пробега автомобиля с новым двигателем – 160 тыс. км, со стандартным отклонением – σ = 30 тыс.км. Чему равна вероятность, что до первого ремонта число км. пробега автомобиля будет находиться в пределах от 100 тыс. км. до 180 тыс. км.
Решение. Р(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.