- •А.А. Халафян
- •Лекция 1. Теории вероятностей. История возникновения. Классическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Статистическое, геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Последовательность испытаний. Формула Бернулли
- •Лекция 3. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Аксиоматика колмогорова
- •Лекция 4. Случайная величина. Функция распределения
- •Основные свойства функции распределения
- •X1 x2 … xn …, причём xn→-∞, n→∞.
- •Лекция 6. Интегральная теорема муавра–лапласа, теорема бернулли
- •Лекция 7. Непрерывные случайные величины
- •Свойства непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение
- •Экспоненциальное распределение
- •Нормальное распределение
- •Лекция 8. Понятие многомерной случайной величины
- •Аналогично закон распределения y имеет вид
- •Лекция 9. Функция распределения многомерной случайной величины
- •Плотность вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 10. Свойства плотности вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 11. Функции от случайных величин
- •Лекция 12. Теорема о плотности суммы двух случайных величин
- •Лекция 13. Распределения стьюдента, фишера .Числовые характеристики случайных величин
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания случайной величины
- •Лекция 14. Числовые характеристики случайных величин (продолжение)
- •Другие характеристики центра группирования случайной величины
- •Характеристики вариации случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Свойства среднеквадратического отклонения
- •Лекция 15. Вычисление дисперсии основных распределений
- •Лекция 16. Числовые характеристики меры связи случайных величин
- •Лекция 17. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство чебышева. Закон больших чисел
- •Неравенство Чебышева
- •Закон больших чисел
- •Закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Лекция 18. Центральная предельная теорема
- •Лекция 19. Математическая статистика. Предмет математической статистики. Вариационные ряды
- •Лекция 20. Средние величины. Показатели вариации
- •Свойства среднего арифметического
- •Показатели вариации (изменчивости) вариационного ряда
- •Свойства дисперсии
- •Статистическая выборка
- •Лекция 21. Оценка параметров генеральной совокупности
- •Лекция 22. Точечные и интервальные оценки параметров распределения Метод наибольшего правдоподобия
- •Метод моментов
- •Интервальная оценка
- •Лекция 23. Проверка статистических гипотез
- •Лекция 24. Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •Проверка гипотезы о законе распределения
- •Лекция 25. Элементы регрессионного и корреляционного анализов
- •Линеаризующие преобразования
- •Линейный множественный регрессионный анализ
- •Множественный корреляционный анализ
- •Библиографические ссылки
Аналогично закон распределения y имеет вид
yj |
-1 |
0 |
1 |
2 |
pj |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
б) условный закон распределения X при условии, что Y = 2, получим, если вероятности pij, стоящие в последнем столбце исходной таблицы, разделим на их сумму, т.е. на P(Y = 2) = 0, 2 (например, 0,75 = 0,15/0,2). Получим таблицу распределения P ( )
xi |
1 |
2 |
pj(xi) |
0,75 |
0,25 |
Аналогично для получения условного закона распределения Y при условии X = 1, вероятности pij, стоящие в первой строке исходной таблицы, делим на их сумму, т.е. на P(X = 1) = 0, 8 (например, 0,125 = 0,1/0,8). Получим таблицу распределения P( )
yj |
-1 |
0 |
1 |
2 |
pi(yj) |
0,125 |
0,3125 |
0,375 |
0,1875 |
в) для нахождения вероятностей P(Y X) складываем вероятности событий pij из исходной таблицы, для которых yj xi. Получим
P(Y X) = 0,10 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,00 = 0,5.
Лекция 9. Функция распределения многомерной случайной величины
Определение. Функцией распределения п-мерной случайной величины ( , ,…, ) называется функция F(x1, x2, …, xn), определяющая вероятность совместного выполнения п неравенств X1 x1, X2 x2, …, Xn xn, т.е.
F(x1, x2, …, xn) = P(X1 x1, X2 x2 , …, Xn xn) (1)
В двумерном случае для случайной величины (X, У) функция распределения F(x,y) определится равенством:
F(x, y) = P(X x, Y y). (2)
Геометрически функция распределения F(x, y) означает вероятность попадания случайной точки (X, Y) в заштрихованную область – бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки М(х, у) (рис. 1). Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются – это означает, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.
Рис.1
В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле
F(x, y) = , (3)
где суммирование вероятностей распространяется на все i, для которых xi < x, и все j, для которых уj < у.
Отметим свойства функции распределения двумерной случайной величины, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины.
1. Функция распределения F(x, у) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.
0 F(x,y) 1 (4)
2. Функция распределения F(x, у) есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.
при x2 x1 F(x2,y) F(x1,y), при y2 y1 F(x,y2) F(x,y1). (5)
Это свойство следует из того, что при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис. 1 увеличивается, то вероятность попадания в него случайной точки (X, У), т.е. функция распределения F(x,y), уменьшиться не может.
Если хотя бы один из аргументов обращается в - , функция распределения F(x, у) равна нулю, т.е.
F(x, – ,) = F(– , y) = F(– , – ) = 0 (6)
Функция распределения F(x, y) в отмеченных случаях равна нулю, так как события X – , Y – , и их произведение представляют невозможные события.
4. Если один из аргументов обращается в + , функция распределения F(x, у) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:
F(x, + ) = F1(x), F( + , y) = F2(y), (7)
где F1(x) и F2(y) – функции распределения случайных величин X и Y, т.е.
F1(x) = P(X < x), F2(y) = P(Y < y).
Произведение события (X < x) и достоверного события (Y < + ) есть само событие (X < x), следовательно, F(x,+ ) = P(X < x) = F1(x). Аналогично можно показать, что
F(+ , y) = F2(y).
Если оба аргумента равны + , то функция распределения равна единице
F(+ , + ) = 1.
Следует из того, что совместное осуществление достоверных событий (X < + ), (Y <+ ) есть событие достоверное.
Геометрически функция распределения есть некоторая поверхность, обладающая указанными свойствами. Для дискретной случайной двумерной величины (X,Y) ее функция распределения представляет собой некоторую ступенчатую поверхность, ступени которой соответствуют скачкам функции F(x, у).
Рис. 2
Зная функцию распределения F(x, у), можно найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в пределы прямоугольника ABCD (рис. 2), т.е. P[x1 X x2, y1 Y y2]. Так как эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной B(x2, y2) минус вероятности попадания в квадранты с вершинами соответственно в точках A(x1, y2) и C(x2, y1) плюс вероятность попадания в квадрант с вершиной в точке D(x1, y1) (ибо эта вероятность вычиталась дважды), то
P[x1 X x2, y1 Y y2] = F(x2, y2) – F(x1, y2) – F(x2, y1) + F(x1, y1). (8)