Проверка гипотезы о законе распределения

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по эмпирическому распределению. Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения.

Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто исходя из теоретических предпосылок (например, выполняются условия центральной предельной теоремы); опыта аналогичных предшествующих измерений; на основании графического изображения (гистограммы) эмпирического распределения.

Параметры распределения, как правило, неизвестны, их заменяют наилучшими оценками по выборке.

Как бы хорошо не был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическими и теоретическими законами распределения неизбежны расхождения. Возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и теоретический закон распределения подобран неудачно? Для ответа на этот вопрос и служат критерии согласия.

Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу Н_о о том, что исследуемая случайная величина Х подчиняется определенному закону распределения. Для проверки гипотезы выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического законов распределений. Закон распределения U при достаточно больших n известен и практически не зависит от закона распределения Х. Выбирают такое значение u, что если гипотеза Н_о верна, то P(Uu) =  мала.

Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение, не меньшее, чем фактически наблюдаемое в исследованиях, т.е. Uu. Если P(Uu) =  мала, то это в соответствии с принципом практической уверенности означает, что такие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу Н_о отвергают. Если же вероятность P(Uu) =  не мала, расхождение между эмпирическим и теоретическим законом распределения не существенно и гипотезу Н_о можно считать правдоподобной и не противоречащей опытным данным.

В ²-критерии согласия Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина ², равная сумме квадратов отклонений частот w_i от гипотетических p_i, рассчитанных по предполагаемому распределению и взятых с некоторыми весами с_i.

Определение 11. Кумулятивная кривая – это кривая накопленных частот.

На рис.3 приведена кумулятивная кривая оценок студентов по «Теории вероятностей и математической статистике».

. (5)

Веса с_i вводятся таким образом, чтобы при одних и тех же отклонениях (w_i – p_i)² больший вес имели отклонения, при которых p_i мала, и меньший – при которых p_i велика. Поэтому в качестве весов берут .

Известно, что при n, U, вычисленное по формуле (6),

(6)

имеет ²-распределение с k = m – r – 1 степенями свободы, где m – число интервалов эмпирического распределения (вариант ряда); r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по эмпирическим данным.

Числа n_i = nw_i и np_i называют соответственно эмпирическими и теоретическими частотами.

Алгоритм применения критерия ² следующий:

1. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот ².

2. Для выбранного уровня значимости  по таблице ²_-распределения находят критическое значение ²_,к при числе степеней свободы k = m –r – 1.

3. Если ² > ²_,к , то гипотезу Н_о отвергаем, в противном случае – принимаем.