Лекция 4. Случайная величина. Функция распределения

Случайная величина – одно из основных понятий теории вероятностей. В самом общем смысле случайная величина – это некоторая переменная величина, принимающая в зависимости от случая то или иное значение. Она может принимать числовое и не числовое (текстовое) значение.

Пример 1.

Очки на гранях игральной кости	1	2	3	4	5	6
Вероятности	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Пример 2.

Монета	Орёл	Решка
Вероятность	0,5	0,5

Определение 1. Случайной величиной вероятностного пространства {Ω, S, P} называется любая функция X(), определенная для Ω, и такая, что для всех действительных х ( ) множество {: X() < x}принадлежит полю S. Другими словами для любого такого события  определена вероятность P(X() < x) = P(X < x).

Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами X, Y, Z, …, а значения случайных величин – строчными латинскими буквами x, y, z...

Определение 2. Случайная величина X называется дискретной, если она принимает значения только из некоторого дискретного множества. Другими словами, существует конечное или счетное число значений x₁, x₂, …, таких, что P(X = x_i) = р_i  0, i = 1, 2…, причем  p_i = 1.

Если известны значения случайной величины и соответствующие им вероятности, то говорят, что определен закон распределения дискретной случайной величины.

Если составлена таблица, в верхней части которой располагаются значения случайных величин, а в нижней части соответствующие им вероятности, то получим ряд распределения случайной величины, который задает закон распределения дискретной случайной величины.

Пример 3. Составим ряд распределения выпадения герба при 2 подбрасываниях монеты. Возможные исходы – ГГ, ГР, РГ, РР. Из возможных исходов видно, что герб может выпасть 0, 1 и 2 раза, с соответствующими вероятностями – ¼, ½, ¼. Тогда ряд распределения примет вид

X_i : 0 1 2

р_i : ¼ ½ ¼

Определение 3. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), зависящая от х  R и принимающая значение, равное вероятности события , что X < x, т.е., F(x) = P{: X() < x } = P(X < x ).

Из определения следует, что любая случайная величина имеет функцию распределения.

Основные свойства функции распределения

1. Функция распределения принимает значения из промежутка 0, 1, т.е.

0 ≤ F(x) ≤ 1.

Это свойство следует из определения функции распределения.

2. Если х₂ >х₁, то

P(x₁≤X<x₂ ) = F(x₂)-F(x₁). (1)

Доказательство. Представим событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение, меньшее х_2, в виде суммы несовместных событий –

{: X() < x₂} = {: X() х₁}  {: x₁ ≤ X() < x₂}.

Так как события несовместные, применим аксиому 3 –

P(X < x₂) = P(X  x₁) + P(x₁ ≤ X < x₂),

но P(X < x₂) = F(x₂), P(X  x₁ ) = F(x₁), следовательно

F(x₂) = F(x₁) + P(x₁ ≤ X < x₂), (2)

а это и означает, что P(x₁≤X<x₂ ) = F(x₂)–F(x₁).

4. Функция распределения – неубывающая функция, т.е. если

x₂  x₁ => F(x₂) ≥ F(x₁).

Доказательство. Если x₂  x_1, то справедливо соотношение (2). Но, согласно

аксиоме 1 P(x₁ ≤ X < x₂) ≥ 0,

следовательно, F(x₂) ≥ F(x₁).

5. P(X ≥ x ) = 1-F(x).

Доказательство. События {: X() ≥ x} и {: X() < x} – противоположные события, так как они несовместные и

{: X() ≥ x}{: X() < x} = Ω, следовательно,

Р{: X() ≥ x} + Р{: X() < x}=1, тогда Р(X() ≥ x) = 1–Р(X() < x) = 1 – F(x).

6. Если х  , то .

Доказательство. Пусть x_1, …, x_n …– бесконечно возрастающая числовая последовательность, x_n → ∞ при n → ∞, надо доказать, что .

Рассмотрим последовательность несовместных событий А₁, А₂, …, А_n, …

А₁ = {: X()<x₁}, А₂ = {: x₁ ≤ X() < x₂}, …, A_n = {: x_n-1 ≤ X() < x_n}, n = 3, 4, …

Очевидно, что событие {: X() < x_n} можно представить в виде суммы событий А₁, А₂, …, А_n

{: X() < x_n}= .

Так как события A_i несовместны, то по аксиоме сложения

.

Легко видеть, что событие, равное сумме всех событий А_i, является достоверным событием, т.е.

= Ω.

Тогда по аксиоме 2 и аксиоме 3` имеем

.

Замечание. Мы не пишем , так как не определен предельный переход под знаком вероятности.

6. Если x → - ∞, то F(x) → 0.

7. Функция распределения непрерывна слева, т.е. .

Свойства 6, 7 можно доказать при помощи аксиомы непрерывности, которая является альтернативной по отношению к аксиоме 3`. То есть в аксиоматику теории вероятностей вместо аксиомы 3` можно включить аксиому непрерывности, тогда аксиому 3` можно будет доказать как теорему и наоборот, аксиому непрерывности можно доказать с использованием аксиомы 3`.

Аксиома непрерывности. Пусть A₁, A₂, .., A_n, … – последовательность событий из S, причём A₁ A₂ A₃ … A_n … и , тогда .

Доказательство свойства 6. Рассмотрим произвольную бесконечно убывающую монотонную последовательность