Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Статистическое, геометрическое определение вероятности

Если события рассматривать как подмножества множества событий, то введенные в лекции 2 отношения между событиями можно интерпретировать как отношения между множествами:

– несовместные события – это такие события (подмножества), которые не содержат общих элементов;

– сумме и произведению событий соответствуют объединение и пересечение

A + B = A  B, AB = A  B;

– противоположное событие к А – это дополнение подмножества А, ;

– запись А  В означает, что в В содержатся все элементарные события из А и могут содержаться элементарные события, не входящие в А. Если A  В и В  А, то А = В.

Теорема 1 (сложения вероятностей). Если два составных события А = _i1, _i2… _im и В = _i1, _i2… _iк являются несовместными, то

P(A + B) = P(A  B) = P(A) + P(B) (1)

Доказательство. Так как события A и B несовместны, событие A + B состоит из m + k элементов. При этом все множество элементарных событий состоит из n элементов. Тогда по классическому определению вероятности

P(A + B) = (m + k)/n = m/n + k/n = P(A) + P(B).

Событие , противоположное событию А, можем определить как подмножество, в которое входят все элементарные события, не входящие в А, т.е. А  =  и А  = . Тогда из теоремы сложения вероятностей вытекает, что Р() = Р(А) + Р( ) = 1, следовательно,

Р( ) = 1– Р(А) (2)

Из (2) следует, что вероятность невозможного события, являющегося противоположным к достоверному событию ( =  + ,    =), равна 0, так как

Р() = 1 – Р() = 0.

Теорема 2 (сложения вероятностей совместных событий). Если два составных события являются совместными, то вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A + B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – Р(АВ).

Доказательство. Нетрудно видеть, что А + В можно представить в виде суммы трех несовместных событий (рис.1): А + В = А + В + АВ.

Рис. 1

Тогда по теореме 1 имеем

Р(А + В) = Р(А ) + Р( В) + Р(АВ) (3)

Учитывая, что

А = А + АВ, Р(А) = Р(А ) + Р(АВ),

имеем

Р(А ) = Р(А) - Р(АВ),

аналогично

Р( В) = Р(В) – Р(АВ).

Подставляя полученные выражения в (3), получим

Р(А + В) = Р(А) – Р(АВ) + Р(В) – Р(АВ) + Р(АВ) = P(A) + P(B) – Р(АВ).

Можно доказать иначе. Нетрудно видеть, что событие A + B состоит из (m + + k – r) элементов, тогда по формуле (1, лекция 1):

P(A + B) = (m + k - r)/n = m/n + k/n – r/n = P(A) + P(B) – P(AB).

При определении вероятности наступления события A предполагается выполнение определённого комплекса условий. Очевидно, что при изменении комплекса условий изменится и вероятность Р(А). Так, если к комплексу условий, при котором определяли Р(А), добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности, которое обозначим P(A/B) = P_B(A). Вероятность P(A/B) называется условной вероятностью наступления события A, при условии, что произойдет событие В. Вероятность Р(А) называется безусловной вероятностью.

Пусть A и В – подмножества элементарных событий, состоящие из m и k элементов (рис. 2).

Рис.2

Тогда по классическому определению вероятностей Р(А) = m/n, Р(В) = k/n.

Пусть событию А при условии, что произойдет событие В благоприятствует r исходов, очевидно, что такими исходами могут быть только исходы принадлежащие А  В. Тогда, согласно формуле (1, лекция 1)

P(a/b) = r/k . (4)

Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на n

P(a/b) = (r/n)/(k/n) = Р(АВ)/Р(В), т.е.

P(a/b) = Р(АВ)/Р(В). (5)

Формула (5) называется формулой нахождения условной вероятности наступления события А при условии, что произойдет событие В.

Пример. Бросаем игральную кость. Пусть событие А состоит в выпадении числа очков, кратных 3, т.е. А = 3, 6, а событие В – в выпадении четного числа очков, т.е. В = 2, 4, 6. Тогда А  В =6, Р(А  В) = 1/6, Р(В) = 3/6 =1/2 и P(a/b) = (1/6)/(1/2) = 1/3. В то же время r = 1, k = 3 и если считать по формуле (3), также получим P(a/b) = r/k = 1/3.

Определение 1. Событие A называется независимым от события B, если его условная вероятность равна безусловной, т.е.

P(A) = P_B(A) = P(a/b). (6)

Из (5) следует

P(AB) = Р(АВ) = P(A/B)P(B). (7)

Фрмула (7) называется формулой умножения для зависимых событий.

Из (6) и (7) следует

P(AB) = P(A) P(B) (8)

Формула (8) называется теоремой умножения для независимых событий.