- •А.А. Халафян
- •Лекция 1. Теории вероятностей. История возникновения. Классическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Статистическое, геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Последовательность испытаний. Формула Бернулли
- •Лекция 3. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Аксиоматика колмогорова
- •Лекция 4. Случайная величина. Функция распределения
- •Основные свойства функции распределения
- •X1 x2 … xn …, причём xn→-∞, n→∞.
- •Лекция 6. Интегральная теорема муавра–лапласа, теорема бернулли
- •Лекция 7. Непрерывные случайные величины
- •Свойства непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение
- •Экспоненциальное распределение
- •Нормальное распределение
- •Лекция 8. Понятие многомерной случайной величины
- •Аналогично закон распределения y имеет вид
- •Лекция 9. Функция распределения многомерной случайной величины
- •Плотность вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 10. Свойства плотности вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 11. Функции от случайных величин
- •Лекция 12. Теорема о плотности суммы двух случайных величин
- •Лекция 13. Распределения стьюдента, фишера .Числовые характеристики случайных величин
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания случайной величины
- •Лекция 14. Числовые характеристики случайных величин (продолжение)
- •Другие характеристики центра группирования случайной величины
- •Характеристики вариации случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Свойства среднеквадратического отклонения
- •Лекция 15. Вычисление дисперсии основных распределений
- •Лекция 16. Числовые характеристики меры связи случайных величин
- •Лекция 17. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство чебышева. Закон больших чисел
- •Неравенство Чебышева
- •Закон больших чисел
- •Закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Лекция 18. Центральная предельная теорема
- •Лекция 19. Математическая статистика. Предмет математической статистики. Вариационные ряды
- •Лекция 20. Средние величины. Показатели вариации
- •Свойства среднего арифметического
- •Показатели вариации (изменчивости) вариационного ряда
- •Свойства дисперсии
- •Статистическая выборка
- •Лекция 21. Оценка параметров генеральной совокупности
- •Лекция 22. Точечные и интервальные оценки параметров распределения Метод наибольшего правдоподобия
- •Метод моментов
- •Интервальная оценка
- •Лекция 23. Проверка статистических гипотез
- •Лекция 24. Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •Проверка гипотезы о законе распределения
- •Лекция 25. Элементы регрессионного и корреляционного анализов
- •Линеаризующие преобразования
- •Линейный множественный регрессионный анализ
- •Множественный корреляционный анализ
- •Библиографические ссылки
Лекция 17. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство чебышева. Закон больших чисел
Если известна дисперсия случайной величины, то с ее помощью можно определить отклонение этой случайной величины на определенное значение от математического ожидания, причем оценка вероятности отклонения будет зависеть от дисперсии, а не от закона распределения. Получение такой оценки дает неравенство Чебышева, которое является частным случаем неравенства Маркова.
Теорема 1 (неравенство Маркова). Для любой случайной величины и любого t >0 (tR) вероятность события не превосходит частное от деления математического ожидания случайной величины на величину t
. (1)
Доказательство. Докажем теорему отдельно для дискретного и непрерывного случая.
1. Пусть Х – дискретная случайная величина. Очевидно, что
и .
Тогда
, следовательно
.
2. Пусть Х – непрерывная случайная величина, p(x) – плотность распределения вероятностей. Очевидно, что на промежутке (-, -t) и (t, +) (так как . Так как
.
Неравенство Чебышева
Событие равносильно событию , оценим вероятность события по неравенству Маркова, получим
. (2)
В неравенстве (2) заменим Х на Х – МХ, получим
. (3)
Неравенство (3) называется неравенством Чебышева. Оно справедливо для любых случайных чисел, имеющих конечную дисперсию. Замечательным свойством этого неравенства является то, что оценка не зависит от закона распределения случайной величины. Но при известном законе распределения можно получить более точную оценку. Например, пусть t = 3, тогда по неравенству (3) имеем
.
т.е. вероятность отклонения любой случайной величины от математического ожидания на величину, большую 3, не более 1/9. Для нормального распределения легко получить более точную оценку – 0,0027.
Следствие 1. Для любых t > 0
. (4)
Доказательство. .
Для биномиального распределения неравенство (4) примет вид .
Следствие 2. Если Х1, Х2, …Хn – независимые случайные величины, то
. (5)
Смысл указанного неравенства оно дает оценку вероятности отклонения среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий.
Доказательство. Пусть Y – случайная величина, , тогда , . Воспользуемся неравенством (17.4), заменив t на , получим
. (6)
Закон больших чисел
Закон больших чисел устанавливает условия сходимости среднего арифметического случайных величин к среднему арифметическому математических ожиданий.
Определение 1. Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности p к числу , если
Сходимость по вероятности коротко обозначают так: .
Теорема 2. (Закон больших чисел в форме Чебышева) Пусть – последовательность независимых случайных величин, дисперсии которых равномерно ограничены сверху, т.е. ; математические ожидания конечны, тогда
.
Доказательство. Так как DXi c, i = 1, 2, …, n, то . Используя формулу (5) (следствие 2), имеем
.
Так как вероятность любого события не превышает единицы, получим двойное неравенство
.
Перейдем в этом неравенстве к пределу при и получим
.