Лекция 20. Средние величины. Показатели вариации

Средние величины характеризуют центр группирования значений признака. Наиболее распространенной из средних величин, является средняя арифметическая.

Определение 1. Средним арифметическим вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленные на сумму всех частот

, (1)

где , для не сгруппированного ряда формула (1) примет вид

(2)

Свойства среднего арифметического

1. Среднее арифметическое константы есть константа – Мс = с.

Доказательство. ( ), т.е. = с.

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в k раз, то и среднее арифметическое увеличится (уменьшится) в k раз – .

Доказательство. .

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее

арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число – .

4. Среднее арифметическое отклонения варианты от средней арифметической равно нулю –

Доказательство.

В зависимости от решаемой задачи могут быть использованы другие формулы среднего, которые можно получить из средней степенной k -го порядка

, х_i > 0 (3)

При k = 1 – среднее арифметическое;

k = 2 – среднее квадратическое;

k = –1 – среднее гармоническое;

Иногда применяется среднегеометрическое – , .

Помимо этих средних, которые называются аналитическими, применяются структурные или порядковые средние.

Определение 2. Медианой М_е вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину несгруппированного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом медиана равна серединному варианту. Для ряда с четным числом – полусумме двух серединных вариантов.

Определение 3. Модой М_о сгруппированного вариационного ряда называется значение признака, соответствующее наибольшей частоте.

Показатели вариации (изменчивости) вариационного ряда

Простейшим показателем вариации является вариационный размах R, равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда – R = Х_max – Х_min.

Определение 4. Выборочной дисперсией S² вариационного ряда называется среднее арифметическое квадрата отклонения вариантов от среднего арифметического –

. (4)

Если ряд не сгруппированный, то дисперсия имеет вид

. (5)

На практике часто используется характеристика вариации, измеряемая в тех же единицах, что и признак – выборочное среднеквадратичное отклонение: .

В некоторых случаях применяется безразмерная характеристика, так называемый коэффициент вариации

V= . (6)