- •А.А. Халафян
- •Лекция 1. Теории вероятностей. История возникновения. Классическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Статистическое, геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Последовательность испытаний. Формула Бернулли
- •Лекция 3. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Аксиоматика колмогорова
- •Лекция 4. Случайная величина. Функция распределения
- •Основные свойства функции распределения
- •X1 x2 … xn …, причём xn→-∞, n→∞.
- •Лекция 6. Интегральная теорема муавра–лапласа, теорема бернулли
- •Лекция 7. Непрерывные случайные величины
- •Свойства непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение
- •Экспоненциальное распределение
- •Нормальное распределение
- •Лекция 8. Понятие многомерной случайной величины
- •Аналогично закон распределения y имеет вид
- •Лекция 9. Функция распределения многомерной случайной величины
- •Плотность вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 10. Свойства плотности вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 11. Функции от случайных величин
- •Лекция 12. Теорема о плотности суммы двух случайных величин
- •Лекция 13. Распределения стьюдента, фишера .Числовые характеристики случайных величин
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания случайной величины
- •Лекция 14. Числовые характеристики случайных величин (продолжение)
- •Другие характеристики центра группирования случайной величины
- •Характеристики вариации случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Свойства среднеквадратического отклонения
- •Лекция 15. Вычисление дисперсии основных распределений
- •Лекция 16. Числовые характеристики меры связи случайных величин
- •Лекция 17. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство чебышева. Закон больших чисел
- •Неравенство Чебышева
- •Закон больших чисел
- •Закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Лекция 18. Центральная предельная теорема
- •Лекция 19. Математическая статистика. Предмет математической статистики. Вариационные ряды
- •Лекция 20. Средние величины. Показатели вариации
- •Свойства среднего арифметического
- •Показатели вариации (изменчивости) вариационного ряда
- •Свойства дисперсии
- •Статистическая выборка
- •Лекция 21. Оценка параметров генеральной совокупности
- •Лекция 22. Точечные и интервальные оценки параметров распределения Метод наибольшего правдоподобия
- •Метод моментов
- •Интервальная оценка
- •Лекция 23. Проверка статистических гипотез
- •Лекция 24. Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •Проверка гипотезы о законе распределения
- •Лекция 25. Элементы регрессионного и корреляционного анализов
- •Линеаризующие преобразования
- •Линейный множественный регрессионный анализ
- •Множественный корреляционный анализ
- •Библиографические ссылки
Классическое определение вероятности
Введем ряд простых определений.
Испытание – это ситуация с более чем одним возможным исходом.
Исход – это результат наблюдения или измерения.
Единичный (отдельный) исход называется элементарным событием.
Набор всех элементарных событий некоторого испытания называется множеством элементарных событий.
Событие определим как подмножество множества элементарных событий.
Достоверное событие – это событие, которое при выполнении определенного комплекса условий обязательно произойдёт.
Невозможное событие – это событие, которое при выполнении определенного комплекса условий никогда не произойдёт.
Случайное событие – это событие, которое при выполнении определенного комплекса условий, может как произойти так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность.
Будем случайные события обозначать прописными латинскими буквами A, B, C…; достоверное событие обозначим , невозможное – .
Два события A и B называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.
Суммой двух событий A и B называется третье событие C = A + B, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо оба одновременно. Это определение равносильно другому определению: суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Пример: А – выпадение четных чисел на игральной кости, В – выпадение чисел кратных 3, тогда С – выпадение чисел 2, 3, 4, 6.
Произведением двух событий A и B называется третье событие C = AB, которое происходит тогда, когда происходит и событие A, и событие B.
Пример: А – выпадение четных чисел на игральной кости, В – выпадение чисел кратных 3, С – выпадение числа 6.
Событие называется противоположным событию A, если оно не совместно с A и вместе (в сумме) образуют достоверное событие, т.е. +А = .
Пример: А – выпадение четных чисел на игральной кости, – выпадение нечетных чисел.
Классическое определение вероятности основывается на равновозможности любого из конечного числа исходов и на предположении, что события составные, т.е. состоят из одного или большего числа элементарных событий (исходов).
Так, например, при бросании игральной кости равновозможно выпадение любого из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Обозначим эти исходы 1, 2, 3, 4, 5, 6. Естественно, что шанс осуществится не одному исходу, а одному из двух, например или 3, или 6 , в два раза больше. Рассуждая, таким образом, можно определить шансы осуществления любого составного события, состоящего из нескольких элементарных событий.
В общем случае, когда имеется n равновозможных исходов 1, 2…n, вероятность наступления любого события A, состоящего из m исходов i1, i2…im, определяется как отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события A, к общему числу:
P(A) = m/n. (1)
Так, при бросании игральной кости событие А – выпадение четных чисел, состоит из трех исходов – 2, 4, 6. Поэтому P(A) = 3/6 =1/2.
Событие ', включающее все исходы называется полным. Тогда по формуле (1)
P(') = n/n = 1,
т.е. полное событие является достоверным, так как оно обязательно произойдет, следовательно = ' и P() = 1, т.е. вероятность достоверного события равна 1.
Задачи:
1. Из 10 автомобилей производства Волжского автомобильного завода 8 с дефектами. Определить вероятность того, что из 5 приобретенных дилерами автомобилей все автомобиля окажутся с дефектами.
Решение. Р =
2. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 10, а разность 2.
Решение. Р =