4. Численные методы математики

4.1. Методы решения нелинейных уравнений

4.1.1. Теоретические сведения.

Любое уравнение с одним неизвестным может быть записано в виде:

f(x)=0,

(4.1)

где f(x)- какая-либо функция аргумента x.

Решение уравнения (4.1) заключается в том, чтобы найти такие значения аргумента x, при подстановке которых оно превратилось бы в тождество. Это значение независимой переменной называется корнем уравнения.

Вычисление корней алгебраических и трансцендентных уравнений вида (4.1) состоит из нескольких этапов. Сначала определяют, какие корни надо найти, например, только действительные ли только мнимые и тому подобное. Потом определяют области, которые содержат по одному корню уравнения (4.1) – локализация решений уравнения. Далее применяют какой-нибудь вычислительный алгоритм, находят выделенный корень с нужной точностью - уточнение (вычисление) корней. На заключительном этапе проводят сверку полученных результатов.

Локализация решений уравнения.

При решении инженерных задач локализация решений уравнения и выбор начального приближения поиска корня уравнения (4.1) часто проводится, исходя из физического понимания. Например, при расчете температуры смесей известно, что корень больше меньшего значения температуры и меньше наибольшего значения из всех составных смеси.

Локализация решений может проводиться путем анализа функции f(x) и ее производных, путем графического построения зависимости y=f(x).

В основе первого способа используется следующее положение. Если на концах некоторого интервала изменения аргумента x непрерывная и монотонная функция f(x) принимает разные знаки, то на рассмотренном интервале находится действительный корень уравнения (4.1).

Второй способ заключается в том, что строится график функции и определяются точки его пересечения с осью абцисс, которые с точностью построения графика соответствуют корням уравнения f(x)=0.

Уточнение корней.

После того, как найдено приблизительное значение корня или определенные границы его расположения, можно различными методами вычислить корень с разной степенью приближения к точному решению. Рассмотрим некоторые из этих методов.

4.1.2. Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии).

Самым простым и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке |a, b|, если f(x) - непрерывная функция и f(a)>0, f(b)<0 , является метод деления отрезка пополам (иллюстрация на рис.4.1, алгоритм – рис.4.2). Действительно, середина отрезка служит приближением к корню уравнения (4.1) с точностью <b-a/2. В середине отрезка x₁=(a+b)/2 определяют знак функции f(x₁), потом выбирают ту половину отрезка, на концах которого функция f(x) принимает значения разных знаков, и деление повторяют. Если нужно найти корень с точностью , то деление отрезка пополам продолжают, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда середина последнего отрезка дает значение корня с необходимой точностью. Этот метод обладает относительно невысокой скоростью схождения и при вычислении корня с высокой точностью требует значительного объема вычислений. Поэтому он чаще всего используется для локализации корней, то есть грубого поиска, для уточнения корней используют более эффективные методы.

Рис.4.1. Рис.4.2.

Пример:

Методом деления пополам найти корень уравнения f(x)=x⁴+x²-x-0.6=0, который находится в интервале [0.5; 1.3] , с точностью =0.15.

Определим значения функции f(x) на концах интервала: f(0.5)=-0.79; f(1.3)=5.35. f(0.5)>0, f(1.3)<0. Значит корень уравнения находится в этом интервале. Поделим отрезок пополам: X₁=(0.5+1.3)/2= 0.9 и вычислим значение функции в найденной точке: f(0.9)=0.61. Так как f(0.5)>0, f(0.9)<0, то выбираем интервал [0.5; 0.9]. Поделив новый интервал пополам, получим X₂=0.7 и f(0.7)=-0.4. Таким образом, корень находится в интервале [0.7; 0.9]. Так как длина отрезка меньше 2 ,то середина дает значение корня: x= 0.8.