4.2.6. Метод Зейделя

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Он заключается в том, что при вычислении k-того приближения неизвестного x_i при i>1 используются уже вычисленные раньше k-тые приближения неизвестных х₁, х₂, .., х_i-1.

Пусть дана система:

Д ля произвольного начального приближения: X₁⁰, X₂⁰, …, X_n⁰:

А налогично выполняются 2-я и последующие итерации:

Т аким образом, k+1-е приближение к решению будет задаваться следующей формулой:

Условия сходимости для метода простой итерации остаются верными и для метода Зейделя. Метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации. Рекомендации по использованию метода Зейделя остаются теми же, что и для метода простой итерации. Блок-схема метода приведена на рис. 4.11.

Пример

Методом Зейделя решить предшествующий пример, используя систему уравнений (4.11) с теми же начальными приближениями.

Проведем итерации методом Зейделя:

При k=1: Рис.4.11

x₁⁽¹⁾=3-0.25*3.3=2.175

При вычислении х₂⁽¹⁾ используем уже полученное значение x₁⁽¹⁾:

x₂⁽¹⁾=3.25-0.25*2.175+0.25*5.5=4.081

При вычислении х₃⁽¹⁾ используем значения x₁⁽¹⁾, x₂2⁽¹⁾:

x₃⁽¹⁾=5.5-0.5*2.175 +0.125*4.081=4.923.

Аналогичным образом вычисляем при k=2, k=3......

K	0	1	2	3	4
X1 X2 X3	3 3,3 5,5	2,175 4,081 4,923	2,980 3,986 5,008	2,004 3,001 4,998	2,000 4,000 5,000

4.3. Обработка экспериментальных данных

4.3.1. Задачи, которые возникают при обработке экспериментальных данных.

Экспериментальных данные, полученные в лабораторных или промышленных условиях, являются основой для проведения дальнейших исследований. В результате проведения эксперимента исследователь получает некоторую таблицу значений:

Таблица экспериментальных значений

X	x0	х1	x2	. . .	хN
Y	y0	y1	y2	. . .	yN

При обработке экспериментальных данных могут возникнуть 2 класса задач:

1. Для функции, заданной таблично, нужно вычислить значения данной функции для промежуточного значения аргумента. Этот класс задач решается методом интерполяции.

2. Для функции, заданной таблично или графически, подобрать аналитическую формулу, которая изображает с какой-то точностью данные значения функции. Такие формулы называются эмпирическими. Задачи данного типа решаются методом аппроксимации.

4.3.2. Интерполяция

4.3.2.1. Интерполяция функций

Пусть некоторая функция Y=F(X) задана таблицей, то есть при значениях аргумента X= x₀, x₁,.., x функция F(X) принимает соответственно значения y, y₁,.., y_n. И пусть необходимо определить значения F(x_i-1), которые попадают между двумя табличными значениями. То есть, для вычисления значения функции необходимо предположить некоторый характер ее изменения между табличными значениями.

Интерполяцию можно рассматривать как процесс определения для данного аргумента x значения функции Y=F(X) по ее нескольким известным значениям.

Задача интерполяции заключается в следующем.

На отрезке [a, b] задаются n+1 точки x₀,x₁,..,x, которые называются узлами интерполяции, и значения функции F(X) в этих точках:

F(x₀)=y₀; F(x₁)=y₁; ....; F(x)=y;

Нужно построить функцию Pn(X) (интерполирующую функцию), которая бы удовлетворила следующим условиям:

Pn(x₀)=y₀; Pn(x₁)=y₁; ...; Pn(x)= y.

То есть интерполирующая функция Pn(x) должна принимать те же самые значения, что и исходная функция F(x) для узловых значений аргумента x₀,x₁,..,x.

Г еометрически это означает, что нужно найти кривую y=Pn(X) некоторого определенного типа, проходящую через данную систему точек Мi(x_i, y_i ) (i=0,1,2,..) (см. рис.4.12). Следует принять во внимание, что имеет место бесконечное множество непрерывных функций, которые будут проходить через данные узловые точки.

Рис. 4.12

В общем случае зависимость, которой подчиняется функция, может быть интерполирована многочленом n-й степени:

i=0,1,…,n (4.12)

Тогда, для определения коэффициентов многочлена (4.12) необходимо иметь n+1 узловую точку. Аналитическое определение коэффициентов интерполяционного многочлена для n+1 точки сводится к решению системы линейных уравнений порядка n+1, любое из которых изображает собой выражение (4.12), записанное для каждой узловой точки

(4.13)

Или в матричном виде:

, то есть знакомая нам форма системы линейных алгебраических уравнений: АХ=В.

Этим методом построения интерполяционного полинома удобно пользоваться при наличии программ для решения систем линейных уравнений методами Гаусса и Зейделя.

Найти коэффициенты полинома а₀, а₁, … а_n можно также, используя формулу Крамера:

,

где А – определитель системы уравнений, А_i – определитель с заменой i-го столбца коэффициентов на столбец свободных членов.

Тогда многочлен имеет вид:

Другой подход, который часто используют на практике, называется методом Лагранжа.

Пусть при x=x₀,x₁,..,x функция F(x) принимает соответственно значение Y=Y₀,Y₁,..,Y_N, тогда интерполяционная формула имеет вид:

, (4.14)

где .

Для Q_i выполняется условие: , то есть Ln(X₀)=Y₀, Ln(X_i)=Y_i.

Многочлен (4.14) называется интерполяционной формулой Лагранжа и имеет такие свойства:

1. При заданной совокупности узловых точек построение многочлена возможно только одним способом.

2. Многочлен Лагранжа может быть построен при любом размещении узлов интерполяции (включая и неравномерный шаг).

В развернутом виде форма Лагранжа имеет вид:

(4.15)

Широко применяются при решении задач интерполяции интерполяционные многочлены Ньютона (1-я и 2-я интерполяционные формулы), а также интерполяционная формула Гаусса. Для равноотстоящих узлов интерполяции (X_i=X₀+ih, где h – шаг интерполяции) для составления этих формул используют конечные разности. Различают конечные разности разных порядков.

Конечная разность первого порядка – разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции: Y_i=Y_i+1-Y_i.

Конечная разность второго порядка – разность между разностями первого порядка: ²Y_i=Y_i+1-Y_i.

Конечная разность n-го порядка – разность между разностями (n-1)-го порядка: ⁿY_i=^n-1Y_i+1-^n-1Y_i.

При неравномерном шаге интерполяции для составления интерполяционных формул используют разделенные разности:

.

4.3.2.2. Обратное интерполирование с помощью интерполяционной формулы Лагранжа

Пусть функция y=F(x) задана таблично. Задача обратной интерполяции заключается в том, чтобы по заданному значению функции Y определить соответствующее значение аргумента Х.

Данная задача может быть решена, если использовать следующую формулу:

. (4.16)

4.3.3. Аппроксимация

При обработке экспериментальных данных интерполяционные формулы не всегда удобны.

Во-первых, при большом числе точек интерполяционные полиномы имеют высокую степень, которая с одного стороны делает их неудобными, а при использовании полинома могут возникнуть ошибки округления.

Во-вторых, экспериментальные данные, как правило, имеют заметный разброс по точности измерения, в особенности на концах отрезка определения функции.

Поэтому вряд ли, пользуясь условием совпадения значений функции во всех узловых точках, можно достичь цели построения адекватной функции. Целесообразно воспользоваться некоторой функциональной зависимостью, параметры которой определяются из условия минимума отклонения расчетных и экспериментальных значений.

Если вид зависимости заранее известен, то задача сводится к определению наилучших значений параметров этой зависимости. В противном случае необходимо сначала определить вид этой зависимости, а потом - ее параметры.

Если вид зависимости Y=F(X) заранее неизвестный, то, пользуясь определенными соображениями (физическое содержание зависимости, простота эмпирической формулы и т.д.) определяют узкий класс функций, которому должна принадлежать исследуемая функциональная зависимость. После того, как избран класс функций приближения, необходимо из него выбрать одну определенную функцию, воспользовавшись соответствующими методами и некоторыми критериями оценки степени приближения.

4.3.3.1. Выбор эмпирической формулы. Метод выравнивания

В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть сделан на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В других случаях приходится подбирать формулу, сравнивая полученные кривые с построенными другими исследователями. Такие графики приведены в справочниках. Иногда обнаруживается, что эмпирическая кривая похожа на несколько кривых, уравнения которых различны. Изменение числовых коэффициентов, которые входят в формулу, часто резко отражается на форме построенной кривой, что также может привести к отличию экспериментальной кривой от графика соответствующей ей формулы.

Поэтому, прежде чем определять числовые значения коэффициентов в выбранной эмпирической формуле, необходимо проверить возможность ее использования методом выравнивания. Только после этого можно перейти к отысканию наилучшего приближения экспериментальных и вычислительных величин.

Метод выравнивания состоит в преобразовании функции y=U(x) таким образом, чтобы превратить ее в линейную функцию. Достигается это способом замены переменных Х и Y новыми переменными X*=G(x,y) и Y*=Q(x,y), которые выбираются так, чтобы получить уравнение прямой линии:

Y*=АХ*+В

(4.17)

Вычислив значения Xi* и Yi* по данным Xi и Yi , их наносят на график с прямоугольными координатами Y=F(X).

Пример

Полученные следующие данности зависимости у=f():

	3	6	9	12	15	18	21	24
у	57.6	41.9	31.0	22.7	16.6	12.2	8.9	6.5
Y=100/у	1.74	2.39	3.23	4.41	6.02	8.2	11.2	15.4
X=100/	33.3	16.7	11.1	8.3	6.7	5.6	4.8	4.2
Y=lgy	1.76	1.62	1.49	1.36	1.22	1.09	0.95	0.81
Y=lny	4.054	3.735	3.434	3.122	2.809	2.501	2.186	1.872

где  – независимая переменная (время), у – значения наблюдаемого параметра.

Те же данные изображенные на рисунке 4.13.

Рис 4.13 Рис.4.14 Рис.4.15

Проверим возможность использования 2-х формул для описания этой зависимости

а) y=/(a+b);

b) y=a exp(b).

а)

1) Используя метод выравнивания, превратим ее в линейную функцию:

1/у=а/+b.

Введем новые переменные Y и X:

Y=1/y; X=1/.

Тогда: Y=aХ+b.

2) Рассчитываем новые переменные Y и X и заносим их в таблицу.

3) Строим график Y=aХ+b.

4) Полученные точки не умещаются на прямую, следовательно этим выражением нельзя описать экспериментальные данные (рис.4.14).

б) Проверим другую формулу y=a exp(b).

1) Используя метод выравнивания, превратим ее в линейную функцию:

ln y=ln a + b или lg y=lg a + (b/2.303) .

Введем новую переменную Y:

Y=lg y.

2) Вычисляем новую переменную Y=lg y и заносим ее в таблицу.

3) Строим график lg Y=f(r). (рис.4.15).

Видно, что точки хорошо ложатся на прямую, что доказывает целесообразность использования формулы б).