4.4.3.2. Выбор шага интегрирования с помощью двойного пересчета
Определение шага интегрирования по величине остаточного члена приводит к громоздким вычислениям. Поэтому можно использовать следующий прием.
По выбранной формуле (методу) интеграл вычисляется два раза: сначала с каким-то шагом h, а потом с шагом h/2, то есть удваивают число n. Обозначим последовательность вычислений как Sn и S2n и сравним их.
Если |Sn-S2n|<, где - допустимая погрешность, то считают, что Sn=S2n.
Если |Sn-S2n|>,
тогда расчет повторяют с шагом h/4 и
сравнивают |S2n-S4n|
и т.п. В роли начального шага можно
рекомендовать
где: k=2
для формулы трапеций, k=4
- для формулы Симпсона.
4.5. Методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
4.5.1. Теоретические сведения
Дифференциальное уравнение устанавливает связь между независимыми переменными, неизвестными (искомыми) функциями и их производными.
Решение дифференциального уравнение n-го порядка
Y(n) = f( X, Y, Y', Y", ..., Y(n-1) ) |
(4.36) |
состоит в отыскании функции Y=Y(X), которая удовлетворяет (4.36) и начальным условиям:
Y(Xo)=Yo; Y'(Xo)=Y'o; Y"(Xo)=Y"o;...,Yo(n-1) (Xo)=Yo(n-1), |
(4.37) |
где Yo, Y'o, Y"o,...,Yo(n-1) - заданные числа. Такая задача называется задачей Коши.
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка устанавливает связь между функцией одной переменной и ее производной в виде:
Y'=f(X,Y) |
(4.38) |
Начальное условие для ОДУ имеет вид:
Y(X0)=Y0 |
(4.39) |
Геометрическое содержание решения этой задачи состоит в нахождении интегральной кривой Y=Y(X), которая проходит через заданную точку А(X0,Y0). Уравнение (4.38) устанавливает связь между координатами и производной от функции в заданной точке в системе координат Y-X. Итак, для любой точки по (4.38) возможно вычислить производную, то есть тангенс угла наклона касательной к кривой Y=Y(X). Иначе говоря, уравнение (4.38) можно рассматривать как определение кривой через ее производную.
Ч
исленное
решение задачи Коши состоит в нахождении
значений Y1,Y2,...,Yn
в точках X1=X0+h,
X2=X0+2h,...,
Xn=X0+nh
отрезка [a,b],
где h
– фиксированное приращение аргумента
или шаг интегрирования, X0=a,
Xn=d.
Нанося точки (X0,Y0),
(X1,Y1),...,
(Xn,Yn)
на координатную плоскость и соединив
их отрезками прямой, Рис.4.19
получим ломаную линию, которая носит название ломаной Эйлера - приблизительное изображение искомой кривой (рис.4.19).
Этот метод решения дифференциального уравнения называется методом Эйлера. Это - простейший метод, и он обладает большим количеством недостатков. Мы стараемся описать кривую отрезками прямой, что может приводить к заметным погрешностям (как, например, на рис.4.19) Очевидно, что каким-нибудь способом необходимо учитывать кривизну искомого решения. Для этого разработан ряд методов, которые подразделяются на два класса.
1). Одноступенчатые методы, в которых используется только информация о искомой кривой в одной точке и не делаются итерации. Одним из таких методов является решение уравнений с помощью рядов Тейлора. Практически удобными методами являются методы Рунге-Кутта (3-го и 4-го порядка точности).
2). Многоступенчатые методы, в которых используется информация о кривой как минимум в двух точках по результатам применения одношаговых методов и затем применяется итерационная процедура. К этим методам принадлежат методы прогноза и коррекции.