4.5.2. Одноступенчатые методы
4.5.2.1. Решение с помощью рядов Тейлора
Методика численного решения любого дифференциального уравнения связана с разложением решения в ряд Тейлора в h - окрестности точки X:
Yi+1=Yi+hYi'+(h2/2!)Yi"+(h3/3!)Yi'''+... (4.40) |
где Yi(k) - к-тая производная функции Y=f(X) в точках X=Xk; h=Xi+1-Xi.
Поиск решения с помощью ряда Тейлора является одноступенчатым методом, так как для вычисления Yi+1 нужна информация только об одной предшествующей точке. Принципиально (4.40) может быть использована при интегрировании любого дифференциального уравнения с любой заведомо заданной точностью, от которой будет зависеть число членов ряда. На практике из-за необходимости вычисления функции и всех ее производных, что очень сложно, этот метод используется редко.
4.5.2.2 Метод Эйлера
Пусть дано уравнение (4.38), удовлетворяющее начальному условию (4.39). Решением этого уравнения является функция Y=Y(X), которая определена на интервале [a, b]. Для интегрирования используем (4.40), ограничившись двумя членами ряда:
Yi+1=Yi+hYi'=Yi+hf(Xi,Yi) |
(4.41) |
Интегрирование по методу Эйлера заключается в последовательном применении формулы (4.41) к уравнению (4.38), начиная с k=1. В присутствия начального условия (4.39) для вычисления Y1 не нужна дополнительная информация - достаточно вычислить правую часть (4.38) при заданных значениях X0 и Y0. Вычисление Y1 аналогично проведению касательной в точке (X0,Y0), тангенс угла наклона которой задается правой частью (4.38) при X=X0, Y=Y0, до пересечения с вертикальной прямой, проведенной из точки X=X1 (рис.4.20). При следующем шаге, то есть при вычислении Y2 снова определяется производная, но уже в точке с координатами (X1,Y1). Из этой точки проводится касательная до пересечения с прямой X=X2. Аналогично повторяются вычисление для Y3,Y4,....
При достаточно маленькой величине шага h метод Эйлера дает решение с высокой точностью, так как ошибка решения близка к h2 (h<<1)2 на каждом шаге интегрирования. К недостаткам метода необходимо отнести сильную зависимость полученного решения от величины шага h и увеличение объема вычислений для достижения удовлетворительной точности.
Пример.
Решить уравнение:
dY/dX=f(X,Y)=0.05exp(-0.05X)-0.0065Y (4.42)
Результаты вычислений заносим в таблицу, заполняя ее по строчкам. В соответствии с условием задачи шаг h=1.
-
I
Xi
Yi
F(Xi,Yi)
hf(Xi,Yi)
0
0
0
0.05
0.05
1
1
0.05
0.0473
0.0473
2
2
0.0973
0.0446
0.0446
3
3
0.0143
0.0421
0.0421
4
4
0.184
-
-
Решение задачи - совокупность значений Y(i=0,1,..,4).
Рис.4.20