4.5.2.3. Модифицированный метод Эйлера

В отличие от обычной метода Эйлера в этом методе используется оценка поведения интегральной кривой в следующих точках. Порядок построения решения в модифицированном методе Эйлера состоит в следующем. Через точку Р_i(X_i,Y_i) - (рис.4.20) проводится касательная А₁ с тангенсом угла наклона f(X_i,Y_i) до пересечения с ординатой в точке X=X_i+h/2 (по методу Эйлера). Получаем точку пересечения В с координатами (X_i+h/2, Y_i+h/2Y_i'). Вычисляем тангенс угла наклона касательной в этой точке: К_i=Y_i'_+1/2=f(X_i+h/2, Y_i+h/2Y_i'). Прямая, проходящая через точку В, с таким наклоном обозначена А₂. Далее, через точку Р_і(X_i,Y_i) проводим прямую А₀, параллельную А₂. Пересечение прямой А₀ с ординатой Х=Х_і+1 и дает искомую точку Р_і+1(X_i+1,Y_i+1).

Уравнение прямой А₀ можно записать:

Yi+1=Yi+hf(Xi+h/2,Yi+f(Xi,Yi)h/2)

(4.43)

Формула (4.43) описывает модифицированный метод Эйлера. Интегрирование по модифицированному методу Эйлера заключается в последовательном применении формул (4.41) (при h=h/2) и (4.43) к уравнению (4.38), начиная с i=1.

Этот метод более точный (второго порядка точности), чем метод Эйлера (который имеет первый порядок точности).

Пример

Решить модифицированным методом Эйлера уравнение (4.42) с начальным условием Y(0)=0, на отрезке [0; 4], шаг h=1

Решение сведем в таблицу:

I	Xi	Yi	Yi'= f(Xi,Yi)	Xi+1/2= Xi+h/2	Yi+1/2= Yi+h/2Yi'	Y'i+1/2= F(Xi +1/2, i+1/2)	hY'i+1/2
0	0	0	0.05	0.5	0.025	0.0486	0.0486
1	1	0.0486	0.0473	1.5	0.0722	0.0459	0.0459
2	2	0.0945	0.0446	2.5	0.117	0.0434	0.0434
3	3	0138	0.0421	3.5	0.159	0.0410	0.0410
4	4	0.179	-	-	-	-	-

4.5.2.4. Метод Эйлера-Коши

В этом методе также используется оценка поведения интегральной кривой в следующих точках. Сущность метода Эйлера-Коши заключается в следующем (рис.4.21).

Рис.4.21

С помощью метода Эйлера (4.41) ищется точка А(X_i+h,Y_i+hYi'), для чего в точке D(X_i,Y_i) проводим касательную L₁ к пересечению с ординатой, которая установленная в точке X_i+1=X_i+h. В точке А снова вычисляем тангенс угла наклона касательной L₂ и проводим ее. В точке А проводим прямую L, тангенс угла наклона которой есть среднеарифметическое тангенсов углов наклона касательных L₁ и L₂. Через точку D(X_i,Y_i) проводим прямую L, параллельную L. Точка, в которой прямая пересечет ординату, восстановленную в точке X_i+1=X_i+h, и будет искомой точкой в (X_i+1,Y_i+1) .

Формула метода Эйлера-Коши имеет вид:

Yi+1=Yi+h/2[f(Xi,Yi)+f(Xi+h,Yi+hYi')]

(4.44)

Интегрирование по методу Эйлера-Коши заключается в последовательном применении формул (4.41) и (4.44), начиная с i=1. Сначала, по (4.41) вычисляют приблизительные значения YP_i+1. Потом, определив YP_i+1, по (4.44) вычисляют искомое Y_i+1. Данный метод, также как и модифицированный метод Эйлера, имеет второй порядок точности.

Пример

Пользуясь методом Эйлера-Коши, решить уравнения (4.42) с начальным условием Y(0)=0, на отрезке [0; 4], шаг h=1.

Результаты вычислений приведены в таблице.

i	Xi	Yi	Yi'= f(Xi,Yi)	Xi+1= Xi+h	YРi+1= Yi+hYi'	YP'i+1= f(Xi+1,YPi+1)	h(Y'i+ +YP'i+1)/2
0	0	0	0.05	0.5	0.025	0.0486	0.0486
1	1	0.0486	0.0473	1.5	0.0722	0.0459	0.0460
2	2	0.0945	0.0446	2.5	0.117	0.0434	0.0434
3	3	0138	0.0421	3.5	0.159	0.0410	0.0410
4	4	0.179	-	-	-	-	-