4.6. Методы решения линейной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
4.6.1. Постановка задачи
Пусть дано ОДУ второго порядка:
Y"+P(x)Y'+g(x)Y=f(x) |
(4.54) |
где P(x), g(x), f(x) - известные непрерывные на отрезке [a, b] функции. Линейная краевая задача для (4.54) состоит в том, что его решение на концах интервала должно удовлетворять линейным краевым условиям:
A0Y(a)+A1Y'(a)=A B0Y(b)+B1Y'(b)=B |
(4.55) |
где A0, A1, B0, B1 - заданные постоянные, причем A0, A1, B0, B1 не равняются одновременно нулю (|A0|+|A1|0; |B0|+|B1|0). Если A=B=0, то краевые условия (4.55) называются однородными. Линейная краевая задача называется однородной, если однородно уравнение (4.54) (f(x)=0) и краевые условия (4.55). Поскольку условия (4.55) должны выполняться в двух точках - на концах интервала [a, b], их называют двухточечными краевыми условиями, а краевую задачу - двухточечной краевой задачей. Точное решение краевой задачи возможно в редких случаях. Поэтому на практике часто используют приблизительные методы решения, которые можно разбить на две группы:
а) аналитические;
б) разностные.
Рассмотрим один из разностных методов - метод конечных разностей.
4.6.2. Метод конечных разностей
Одним из наиболее простых методов решения линейной краевой задачи (4.54 - 4.55) является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Классическое определение производной функции одной переменной записывается в виде:
Конечно, на ЭВМ мы не можем провести предельного перехода. С другой стороны, мы можем предоставить h некоторое маленькое, хотя и ненулевое значение и проверить, что приближение получается довольно точным (проблема точности), и что ошибка не увеличивается в ходе процесса вычислений (проблема устойчивости). Этот метод (конечных разностей) сводится к тому, что мы заменяем производную разностью. Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной h (шаг). h=(b-a)/n
Обозначим точки деления отрезка [a, b]:
X0=a; Xn=b; Xi=X0+ih (i=1, 2, ..., n-1);
Pi=P(Xi); gi=g(Xi); fi=f(Xi); Yi=Y(Xi); Yi'=Y'(Xi); Yi"=Yi"(Xi).
Заменим приблизительно в любой внутренней точке Xi отрезка [a, b] производные Yi' и Yi" на конечно-разностные отношения:
Yi'=(Yi+1-Yi)/h; Yi"=(Yi+2-2Yi+1+Yi)/h2. |
(4.56) |
Для предельных точек X0=a и Xn=b представим:
Y0'=(Y1-Y0)/h; Yn'=(Yn-Yn-1)/h. |
(4.57) |
Используя формулы (4.56) и (4.57), приблизительно заменим уравнения (4.54) и краевые условия (4.55) системой n+1 линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными Y0,Y1,Y2,...,Yn, которые представляют собой значения искомой функции Y=Y(x) в точках X0,X1,X2,...,Xn:
(Yi+2-2Yi+1+Yi)/h2 +Pi(Yi+1-Yi)/h+giYi=Fi; (i=0, 1, 2, ..., n-2) A0Y0+A1(Y1-Y0)/h=A; B0Yn+B1(Yn-Yn-1)/h=B. |
(4.58) |
Решив эту систему, можно получить таблицу приблизительных значений искомой функции Y=Y(x). На практике часто производные Yi' и Yi" во внутренних точках Xi отрезка [a, b] заменяют центрально-разностными отношениями:
Yi'=(Yi+1-Yi-1)/2h; Yi"=(Yi+1-2Yi+Yi-1)/h2, |
(4.59) |
а для предельных точек X0=a и Xn=b справедливы формулы (4.57). Тогда система уравнений для определения Y0, Y1, ... ,Yn принимает вид:
(Yi+1-2Yi+Yi-1)/h2+Pi(Yi+1-Yi-1)/2h+giYi=Fi; (i=0, 1, 2, ..., n-1) A0Y0+A1(Y1-Y0)/h=A; B0Yn+B1(Yn-Yn-1)/h=B. |
(4.60) |
Для оценки погрешности метода конечных разностей на практике часто используют следующее приблизительное выражение:
Yi*-Y(Хi)=1/3 [Yi*-Yi], |
(4.61) |
где Y(Хi)-значение точного решения краевой задачи в точке X=Xi; Yi -значение приблизительного решения, вычисленного в точке X=Xi с шагом h; Yi*-значение приблизительного решения, вычисленного в точке X=Xi с шагом h/2.
Чтобы найти приблизительное решение краевой задачи с заданной точностью , необходимо провести вычисления с шагом h и h/2 и сравнить полученные результаты. Если [Yi* -Yi]<, то значение Yi* (i=1,2,...,n) можно принять за решение краевой задачи.