4.6.3. Метод прогонки

При большом n непосредственное решение систем (4.58) или (4.60) становится очень громоздким. Для решения систем такого вида был разработан специальный метод, который получил название метода прогонки. Пусть имеем систему (4.58). Рассмотрим первое из n-1 уравнений

(Yi+2-2Yi+1+Yi )/h^2+Pi(Yi+1-Yi )/h+giYi=Fi; (i=1, 2 ,..., n-1).

После преобразований получаем:

Yi+2+(-2+hPi)Yi+1+(1-hPi+h^2 gi)Yi=h^2 Fi.

(4.62)

Введем обозначения:

Mi=-2+hPi; Ki=1-hPi+h^2gi, (i=0, 1, 2,..., n-2).

(4.63)

Выполняем замены в (4.62):

Yi+2+MiYi+1+KiYi=h^2Fi.

(4.64)

Решив (4.64) относительно Y_i+1, получим:

Yi+1=h^2Fi/Mi -Yi+2/Mi - KiYi/ Mi

(4.65)

Нетрудно убедиться в том, что, исключив Y_i из (4.65) с помощью краевых условий системы (4.58), получим это уравнение в виде:

Yi+1=Ci(Di –Yi+2) (i=0, 1, 2,..., n-2),

(4.66)

где C_i, D_i - некоторые коэффициенты.

Пусть, например, i=0; тогда (4.65) примет вид:

Y1=h Fi/M0 -Y2/M0 - K0Y0/M0 .

(4.67)

Из краевого условия A₀Y₀+A₁( Y₁-Y₀ )/h =A найдем Y₀:

Y₀ =Ah/(A₀-h)-A₁Y₁/(A₀h-A₁)

и подставим его в (4.67). После преобразований получим:

Обозначим:

(4.68)

Из (4.66) можно записать:

Y_i=C_i-1(D_i-1-Y_i+1).

Подставляя это выражение в (4.64), получим:

Y_i+2+M_iY_i+1+K_iC_i-1(D_i-1-Y_i+1)=h²F_i.

Откуда:

Yi+1=[h^2Fi-KiCi-1Di-1]/[Mi-KiCi-1]

(4.69)

Приравнивая (4.66) и (4.69), получим рекуррентные формулы для определения C_i и D_i:

Ci=1/(Mi-KiCi-1); Di=hFi-KiCi-1Di-1,

(4.70)

где i=1, 2, ..., n-2; Ci, Di- прогоночные коэффициенты. Метод прогонки состоит из двух этапов: прямого и обратного хода. На первом этапе (прямой ход) на основе (4.68) находятся коэффициенты C₀ и D₀. После этого, последовательно используя рекуррентные формулы (4.70), получают значения C_i и D_i (i=1, 2, ..., n-2). Второй этап (обратный ход) начинается с определения Yn. Используя второе краевое условие (4.58) и формулу (4.66) при i=n-2, запишем систему уравнений:

B0Yn+B1(Yn-Yn-1)/h=B; Yn-1=Cn-2(Dn-2-Yn).

(4.71)

Решив эту систему относительно Y_n, получим:

Yn=[B1Cn-2Dn-2 + Bh]/[B1(1+Cn-2)+B0h].

(4.72)

Подставив в (4.72) уже найденные прямым ходом С_n-2, D_n-2, находим Y_n. После этого вычисляем Y_n-1, Y_n-2, Y_n-3, ..., Y₁, последовательно используя рекуррентную формулу (4.66):

Yn-1=Cn-2(Dn-2-Yn); Yn-2=Cn-3(Dn-3-Yn-1); ..............; Y1=C0(D0-Y2).

(4.73)

Значение Y₀ находим по формуле, которая была получена из первого краевого условия (4.58):

Y0=(A1Y1-Ah)/(A1-A0h).

(4.74)