4.4.2. Метод Симпсона

Метод Симпсона - один из наиболее распространенных и часто используемых методов численного интегрирования. В отличие от предшествующего метода подынтегральная функция аппроксимируется в границах двух близлежащих интервалов разбивки квадратичной зависимостью, поскольку для вычисления коэффициентов параболы необходимо иметь три значения функции. Число интервалов разбивки при этом должно быть парным.

Разобьем интервал [a, b] на парное число n=2k промежутков равной длины h точками

Х₀=а; Х₁;Х₂...Х_2n-1; X_2n=b.

Рассмотрим два близлежащих интервала Рис.4.17

разбивки [X_i-1; X_i] и [X_i; X_i+1], любой из которых имеет длину h=b-a/n. Проведем в точках Х_i-1; X_i; X_i+1 ординаты к пересечению с кривой Y=f(X) в точках M_i-1; M_i; M_i+1. Через эти точки проводится парабола с осью, параллельной к оси ординат OY. Для площади, ограниченной параболой на интервале [X_i-1;X_i+1] можно записать:

.

Формула может быть получена подстановкой в качестве подинтегральной функции уравнения квадратичной параболы:

,

а значения коэффициентов а, b, c получить, решив систему 3-х уравнений для трех точек: Х₀, Х₁, Х₂.

Если подобную операцию провести для каждой тройки точек, начиная с [X₀; X₂] и заканчивая [X_n-2; X_n], то есть заменить график исходной функции n параболами, а потом суммировать почленно полученные формулы, то в итоге получим формулу Симпсона:

(4.31)

Заметим, что у полученной суммы элементы с коэффициентом 4 отвечают нечетным точкам, а элементы с коэффициентом 2 - четным точкам.

Блок-схема метода приведена на рисунке 4.18.

4.4.3. Оценка точности формул численного интегрирования. Выбор шага интегриров-ания

Любая формула численного интегрирования вычисляет лишь приблизительное значение интеграла. Поэтому можно записать:

(4.32)

где R- погрешность использования формулы численного интегрирования.

Понятно, что ошибка формулы зависит от размера шага интегрирования, а также от класса подынтегральной функции. Чем меньше шаг интегрирования, тем меньше ошибка R. Размер шага интегрирования зависит от заданной точности вычислений и применяемой формулы интегрирования. Рис.4.18

4.4.3.1. Выбор шага интегрирования по оценке остаточного члена (ошибки)

Вычислить оценку ошибки возможно следующим образом. Необходимо получить точное значение интеграла и сравнить с приблизительным, вычисленным по соответствующей формуле. Ошибку формулы целесообразно оценивать, используя следующий, более высокий порядок подынтегральной функции, чем тот, который используется при определении интеграла. Для формул прямоугольников и трапеций это будет функция вида: Y=X²; для формул Симпсона- Y=X⁴ и т.д. После того, как оценка значения ошибки (R) получена, шаг интегрирования выбирается так, чтобы выполнялось следующее неравенство:

|Rmax|<0.5,

(4.33)

где |Rmax| -максимальное значение остаточного члена, Х₀<<Х₀+nX. Соответственно, размер шага h должен выбираться так, чтобы при максимальном значении производной выполнялось условие (4.33).

Для формулы трапеций:

0.5>|Rmax|=max(|Y’’()|/12)* X^3

(4.34)

Для формулы Симпсона:

0,5>|Rmax|=max(|Y^(4)(X)|/90)* X^5

(4.35)