1

1. Теория пределов

1.1. Понятие функции. Основные элементарные функции и их свойства. Построение графиков элементарных

функций

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Определение 1 . Если каждому элементу x множества X (x ∈ X ) ста- вится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y (y ∈ Y ), то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x).

_{При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y}

зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.

Множества X называется областью определения функции, а множество

Y областью значений функции.

Если множество X специально не оговорено,то под областью определе-

ния функции подразумевается область допустимых значений переменной x, т.

е. множество таких значений x, при которых функция y = f (x) вообще имеет

смысл.

Определение 2 . Графиком функции y = f (x) называется множество то- чек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а ординат

соотвествующие им значения функции y = f (x).

Способы задания функции

1) Аналитический способ, если функция задана формулой y = f (x). Например, функция y = ^√1 − x² задана аналитически.

2) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, со- держащей значение аргумента x и соответствующие значения y = f (x).

_{Например, функция y = f (x) задана таблице}

^x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
^y	−20	−23	−10	0	5	15	20	27	22	15	4	−11

где x месяц года, y среднемесячная температура в Красноярске.

3) Графический способ состоит в изображении графика функции y = f (x).

2

Основные свойства функций

1) Четность и нечетность.

Функция y = f (x) называется четной, если для любых значений x ∈ X

выполняется равенство

f (−x) = f (x) .

Функция y = f (x) называется нечетной, если для любых значений x ∈ X

выполняется равенство

f (−x) = −f (x) .

В противном случае функция y = f (x) называется функцией общего вида.

2) Монотонность.

Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежут-

ке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует

большее (меньшее) значение функции.

Пусть x₁, x₂ ∈ X и x₁ < x₂. Тогда функция y = f (x) возрастает на проме- жутке X , если f (x₁) < f (x₂), и убывает, если f (x₁) > f (x₂).

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функ- циями.

3) Ограниченность.

Функция y = f (x) называется ограниченной сверху на промежутке X , ес-

ли существует такое число A, что f (x) ≤ A для любого x ∈ X .

Функция y = f (x) называется ограниченной снизу на промежутке X , если

существует такое число A, что f (x) ≥ A для любого x ∈ X .

Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке X , если су-

ществует такое положительное число M > 0, что |f (x)| ≤ M для любого x ∈ X .

В противном случае функция называется неограниченной.

4) Периодичность.

Функция y = f (x) называется периодической с периодом T = 0, если для

любых x ∈ X выполняется равенство f (x + T ) = f (x).

Основные элементарные функции

1) Степенная функция y = x^α, где α ∈ R.

2) Показательная функция y = a^x, где a > 0, a = 1.

3

3) Логарифмическая функция y = log_a x, где a > 0, a = 1.

^{4) Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.}

5) Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x, y = arcctg x.

Реферат. Описать основные свойства (область определения, четность и нечетность, монотонность, ограниченность, периодичность) выше перечислен- ных элементарных функций и построить графики этих функций.

Элементарные функции

Функция называется явной, если она задана формулой, левая часть кото- рой содержит только y, а правая часть содержит выражение, зависящее только от x.

Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением

F (x, y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной y.

Обратная функция. Пусть y = f (x) есть функция от независимой пе-

ременной x, определенной на множестве X с областью значений Y . Поставим в

соответствие каждому y ∈ Y единственное значение x ∈ X , при котором f (x) = y.

Тогда полученная функция x = ϕ (y), определенная на множестве Y с областью

значений X , называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через x,

а функцию через y, то функция, обратная к функции y = f (x), примет вид

y = ϕ (x).

Сложная функция. Пусть функция y = f (u) есть функция от перемен-

ной u, определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u

в свою очередь является функцией u = ϕ (x) от переменной x, определенной на

множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция

y = f [ϕ (x)] называется сложной функцией.

Понятие элементарной функции. Из основных элементарных функ- ций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции.

Определение 3 . Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Классификация функций

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические

(трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом про- водится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических

4

функций относятся: целые рациональные функции (многочлены), дробно- рациональные функции (отношение двух многочленов), иррациональные функ- ции (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К чис- лу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифми- ческая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

1.2. Последовательность как функция натурального аргумента. Ограниченность, монотонность. Определение предела последовательности,

простейшие свойства

Понятие числовой последовательности

Определение 4 . Если каждому натуральному значению n ставится в соответствие некоторое число a_n, то говорят, что задана числовая последова-

тельность.

_{Последовательность обозначается {an}, n = 1, 2, . . .}

Другими словами, числовая последовательность это функция нату- рального аргумента: a_n = f (n).

Числа a₁, a₂, . . . называются членами последовательности, а число a_n

общим или n−м членом данной последовательности.

Определение 5 . Число a называется пределом последовательности {a_n}, если для любого положительного числа ε существует номер N = N (ε) такой, что для всех n > N выполняется неравенство

|a_n − a| < ε. (1)

_{Предел обозначается символом a = lim}

^n→∞

₁

^a_n ^{или a}_n ^{→ a при n → ∞.}

_{П р и м е р 1. Показать, что lim}

^{n→∞ n}

^{= 0.}

^{Решение. Покажем, что для любого положительного числа ε существует}

номер N = N (ε) такой, что выполняется неравенство

₁

_{< ε.}

Так как n натуральное число, то

₁

ⁿ

_{ε 1}

_n ^< ₁ ^{⇒ n >} _ε ^.

5

Тогда в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству

₁

₁

_{N >}

^ε

+ 1,

₁

^{где символ}

_{означает целую часть числа}

^ε

_{. Отсюда следует, что для всех}

^ε

^{n > N будет выполняться неравенство}

₁

_{< ε.}

Это означает, что

ⁿ

1 lim

_{= 0.}

^{n→∞ n}

^{Определение 6 . Последовательность {a}_n^{} называется сходящейся, если}

существует предел этой последовательности. В противном случае, последова- тельность называется расходящейся.

_lim

П р и м е р 2. Последовательность

₁

_{= 0.}

1

_n

является сходящейся, так как

^n→∞ _n

П р и м е р 3. Последовательность n² является расходящейся, так

_{как lim}

_n→∞

n² = ∞.

_{П р и м е р 4. Последовательность {(−1)}ⁿ_{} является расходящейся, так}

_{как lim}

^n→∞

₍₋₁₎ⁿ _{не существует.}

Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Определение 7 . Последовательность {a_n} называется ограниченной снизу (сверху), если существует число m (M ) такое, что для всех n выпол-

няется неравенство

^a_n ^{≥ m (a}_n ^{≤ M ) .}

_{Если последовательность {an} ограничена снизу и сверху, то она называется}

ограниченной.

Очевидно, что если последовательность {a_n} ограничена, т. е. существуют числа m и M такие, что m ≤ a_n ≤ M , то существует число A такое, что |a_n| ≤ A.

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Определение 8 . Последовательность {a_n} называется неубывающей

(невозрастающей), если

для всех n.

^a_n+1 ^{≥ a}_n ^(a_n+1 ^{≤ a}_n⁾

6

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются моно- тонными.

Определение 9 . Последовательность {a_n} называется возрастающей

(убывающей), если

_{для всех n.}

^a_n+1 ^{> a}_n ^(a_n+1 ^{< a}_n⁾

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго мо- нотонными.

Теорема 3. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

_{Определение 10 . Пусть даны последовательности {an} и {bn}. Суммой,}

разностью, произведением и частным называются соответственно следующие последовательности

{a_n + b_n} , {a_n − b_n} , {a_nb_n} ,

_an

_.

^b_n

^{При этом в последнем случае требуется, чтобы b}_n ^{= 0 для всех n.}

Свойства сходящихся последовательностей

n

^{1) Пусть последовательность {a}_n^{} сходится, т. е. lim}

→∞

^a_n ^{= a, и c произ-}

^{вольное действительное число. Тогда сходится последовательность {ca}_n^{} и}

_lim

^n→∞

_{can = c lim}

^n→∞

^a_n ^{= ca. (2)}

n

^{2) Пусть последовательности {a}_n^{} и {b}_n^{} сходятся, т. е. lim}

→∞

^a_n ^{= a и}

_lim

^n→∞

^b_n ^{= b. Тогда сходятся последовательности {a}_n ^{± b}_n^{} и}

^±

_lim

^n→∞

_{(an bn) = lim}

^±

^n→∞

_{an lim}

^n→∞

^b_n ^{= a ± b. (3)}

n

^{3) Пусть последовательности {a}_n^{} и {b}_n^{} сходятся, т. е. lim}

→∞

^a_n ^{= a и}

_lim

^n→∞

^b_n ^{= b. Тогда сходится последовательность {a}_n^b_n^{} и}

_lim

^n→∞

_{anbn = lim}

^·

^n→∞

_{an lim}

^n→∞

^b_n ^{= ab. (4)}

_{4) Пусть последовательности {an} и {bn} сходятся и bn = 0, т. е. lim}

_{an = a}

_{и lim}

^n→∞

_an

^b

^b_n ^{= b и b = 0. Тогда сходится последовательность и}

n

n→∞

_lim

_a lim a_n ⁿ ₌ n→∞

_a

_{= . (5)}

^{n→∞ b}_n

lim b_n b

^n→∞

7

5) Пусть последовательности {a_n} и {b_n} сходятся и a_n ≤ b_n (a_n ≥ b_n) при

^{n > N}₀^{. Тогда справедливо неравенство}

^≤

_lim

^n→∞

a_n lim b_n n→∞

_lim

^≥

^n→∞

a_n lim b_n n→∞

. (6)

^{6) Пусть даны последовательности {a}_n^{}, {b}_n^{} и {c}_n^{}. Если a}_n ^{≤ b}_n ^{≤ c}_n ^при

^{n > N}₀ ^{и последовательности {a}_n^{} и {c}_n^{} сходятся к одному и тому же пределу,}

_{т. е. lim}

^n→∞

_{an = lim}

^n→∞

^c_n ^{= b, то}

_lim

^n→∞

b_n = b. (7)

Число e

Рассмотрим последовательность

a_n =

₁ ⁿ

_{1 +}

ⁿ

.

₁ ⁿ

^{Теорема 4. Последовательность}

_{1 + и}

ⁿ

₁ ⁿ

_{lim 1 +}

^{n→∞ n}

^{= e. (8)}

Доказательство. Докажем, что последовательность

₁ ⁿ

_{1 +}

ⁿ

моно-

тонно возрастает и ограничена. Для этого используем бином Ньютона

a_n =

₁ ⁿ

_{1 +}

ⁿ

₁

=

_{n (n − 1) 1}

_{n (n − 1) (n − 2) 1}

^{= 1 + n ·} _n ⁺

_2! ^· _n2 ⁺

_3! ^· _n3 ^{+ . . . +}

⁺

_{n (n − 1) (n − 2) . . . 2 · 1 1}

_n! ^· _nn ⁼

₁

_{= 1 + 1 +}

_2!

ⁿ

^· _n ^·

^{n − 1} ₊ ¹

_{n 3!}

ⁿ

^· _n ^·

^{n − 1}

_n ^·

^{n − 2}

_n

+ . . . +

(9)

_{1 n}

_{+ · ·}

^{n − 1}

_·

^{n − 2}

_{. . . ·}

^{n − (n − 2)}

_{n − (n − 1)}

_{· =}

_{n! n}

₁

_{= 2 +}

_2!

ⁿ ₁ ⁿ ₁

⁻

_{1 +}

_{n 3!}

₁ ⁿ ₂

^{1 −} _n ^{1 −} _n

ⁿ

_{+ . . . +}

₁

⁺ _n! ^{1 −}

₁

_n ^{1 −}

₂

¹

. . . n

_{n − 1}

⁻ _n ^,

где n! = 1 · 2 · 3 . . . n (читается: "эн факториал").

^{Покажем,что a}_n+1 ^{≥ a}_n^{. Так как}

_{k k}

^{1 −} _{n + 1} ^{> 1 −} _n ^{для всехk = 1, 2, . . . , n,}

8

то из (36) получаем, что a_n+1 ≥ a_n, т. е. последовательность {a_n} монотонно возрастает.

Докажем ограниченность последовательности. Так как

_k

^{1 −} _n ^{< 1 для всехk = 1, 2, . . . , n,}

то

a_n =

₁ ⁿ

_{1 + =}

_n

₁

_{= 2 +}

_2!

_{1 1}

⁻

_{1 +}

_{n 3!}

₁

^{1 −} _n ^{1 −}

₂

_{+ . . . +}

_n

₁

⁺ _n! ^{1 −}

₁

_n ^{1 −}

₂

¹

. . . n

_{n − 1}

⁻ _n ^<

Кроме того,

₁

_{< 2 +}

^2!

₁

_{1 1}

_{+ + . . . + .}

^{3! n!}

₁

Поэтому

_k! ^< ₂^k−1

^{для всехk = 1, 2, . . . , n.}

₁ ⁿ _{1 1}

_{1 1 1 1}

^a_n ⁼

_{1 + < 2 + + + . . . + < 2 + + + . . . + =}

n 2! 3! n! 2 2² 2ⁿ⁻¹

₁

_{= 2 +}

^·

²

1

2ⁿ⁻¹

2

^{1 −}

_{1 −} ¹

= 2 + 1 −

1

₂ⁿ⁻¹

< 3.

^{Таким образом , мы доказали, что последовательность {a}_n^{} ограничена. Тогда}

_{из теоремы 3 следует, что последовательность {an} сходится, т. е. существует}

_lim

^n→∞

₁ ⁿ

_{1 +}

ⁿ

и этот предел обозначается буквой e. Число e = 2, 718281828 . . .