X, c постоянная величина. Тогда дифференцируемы в этой точке функции

_{f (x)}

^{cf (x), f (x) ± g (x), f (x) g (x),}

_{(в последнем случае предполагается, что}

^{g (x)}

^{g (x) = 0) и имеют место формулы}

_c⁰ _{= 0, (25)}

(cf (x))⁰ = c · f ⁰ (x) , (26)

_{(f (x) ± g (x))}⁰ _{= f} ⁰ _{(x) ± g}⁰ _{(x) , (27)}

_{(f (x) g (x))}⁰ _{= f} ⁰ _{(x) g (x) + f (x) g}⁰ _{(x) , (28)}

_{f (x)} ⁰

₌

^{g (x)}

_f ⁰ _{(x) g (x) − f (x) g}⁰ _(x)

_g² _(x)

. (29)

Теорема 15. Пусть функция u = f (x) дифференцируема в точке x₀, функция y = g (u) дифференцируема в точке u₀ = f (x₀), тогда функция y = g (f (x)) дифференцируема по x в точке x₀, причем

_{y0 0 0}

_x ^{= g}_u ^{· f}_x^{. (30)}

Теорема 16. Пусть функция y = f (x) в некоторой окрестности точки x₀ является непрерывной и строго монотонной. И пусть функция y = f (x) диффе- ренцируема в точке x₀, причем f ⁰ (x₀) = 0. Тогда существует обратная функция x = ϕ (y), которая дифференцируема в точке y₀ = f (x₀), причем

₁

^y0

x⁰ . (31)

y ⁼

^x x=ϕ(y)

Теорема 17. Пусть функция y = f (x) положительна и дифференциру- ема в точке x. Тогда функция ln y = ln (f (x)) дифференцируема в этой точке,

причем

_{[ln y]}⁰ ₌ ^y0 _{. (32)}

^y

Из этой теоремы мы получаем формулу

y⁰ = y [ln y]⁰ , (33)

которая называется логарифмической производной.

24

Теорема 18. Если функция y от аргумента x задана параметрически:

x = ϕ (t) , y = ψ (t) ,

где функции ϕ (t) y = ψ (t) дифференцируемы и ϕ⁰ (t) = 0, то производная функ- ции y по переменной x равна

^y0

_ψ⁰ _(t)

^{x =} _ϕ⁰ _(t) ⁽³⁴⁾

_{Определение 28 . Функция y неявно зависит от x, если y удовлетворяет}

уравнению

F (x, y) = 0

и из этого уравнения нельзя выразить y.

_{Теорема 19. Пусть функция y является неявно заданной и удовлетво-}

ряет уравнению

F (x, y) = 0,

где функция F (x, y) дифференцируема по переменным x, y. Тогда производ- ная функции y по переменной x равна

0

_{y0 Fx (x, y)}

^{x −} _F ⁰

₌

_y ^{(x, y)}

^{. (35)}

Таблица производных основных элементарных функций

1. (x^α)⁰ = αx^α−1.

2. (a^x)⁰ = a^x ln a, (a > 0, a = 1).

_{3. (e}^x₎⁰ _{= e}^x_.

4. (log_a x)⁰ =

¹

_{x ln a}

, (x > 0, a > 0, a = 1).

_{5. (ln x)}⁰ ₌ ¹ _{, (x > 0, a > 0, a = 1).}

^x

^{6. (sin x)0 = cos x.}

_{7. (cos x)}⁰ _{= − sin x.}

²

8. (tg x)⁰ = ¹ cos² x

_{, x =} ^π _{+ πn , n = 0, ±1, ±2, . . ..}

_{9. (ctg x)}⁰ _{= −}

¹

_sin² _x

_{, (x = πn) , n = 0, ±1, ±2, . . ..}

₁

_{10. (arcsin x)}⁰ ₌ √

1 − x²

₁

, (−1 < x < 1).

_{11. (arccos x)}⁰ _{= − √ , (−1 < x < 1).}

_{1 − x}²

_{12. (arctg x)}⁰ ₌ ¹ _.

^{1 + x2}

13. (arcctg x)⁰ = −

14. (sh x)⁰ = ch x.

15. (ch x)⁰ = sh x.

25

₁

_{1 + x}^{2 .}

_{16. (th x)}⁰ ₌ ¹ _.

_ch² _x

17. (cth x)⁰ = −

₁

_sh² _x ^.

Таблица производных сложных функций

1. (u^α)⁰ = αu^α−1 · u⁰.

2. (a^u)⁰ = a^u ln a · u⁰, (a > 0, a = 1).

3. (e^u)⁰ = e^u · u⁰.

4. (log_a u)⁰ =

1

_{u ln a}

· u⁰, (a > 0, a = 1).

^·

_{5. (ln u)}⁰ ₌ ¹ _u⁰_{, (x > 0, a > 0, a = 1).}

^u

^{6. (sin u)0 = cos u · u0.}

7. (cos u)⁰ = − sin u · u⁰.

8. (tg u)⁰ = ¹ cos² u

₁

_{9. (ctg u)}⁰ _{= −}

· u⁰.

_{· u0.}

_sin² _u

₁

_{10. (arcsin u)}⁰ ₌ √

^{1 − u2}

₁

· u⁰.

_{11. (arccos u)}⁰ _{= − √ · u}⁰_.

1 − u²

_{12. (arctg u)}⁰ ₌ ¹

_{1 + u}²

· u⁰.

13. (arcctg u)⁰ = −

¹

_{1 + u}²

· u⁰.

^{14. (sh u)0 = ch u · u0.}

15. (ch u)⁰ = sh u · u⁰.

16. (th u)⁰ = ¹ ch² u

· u⁰.

_{17. (cth u)}⁰ _{= −}

¹

_sh² _u

_{· u}⁰_.

Замечание. В таблице производных сложных функций u есть функ-

ция, зависящая от x. В левой части формул производная вычисляется по

переменной x.

26