2.4. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Формула Тейлора

Теоремы о среднем

Теорема 21. (Ферма) Пусть функция y = f (x), непрерывная на отрез- ке [a; b], принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке ξ этого интервала: a < ξ < b. Если в точке ξ существует производная функ- ции f (x), то она равна нулю: f ⁰ (ξ) = 0.

33

Доказательство. Пусть в точке ξ функция f (x) принимает свое наиболь- шее значение, т. е.

для всех x ∈ [a; b].

Производная f ⁰ (ξ) равна

f (x) ≤ f (ξ) (50)

_{f (ξ + ∆x) − f (ξ)}

_f ⁰ _{(ξ) = lim .}

^{∆x→0 ∆x}

Так как ξ внутренняя точка, то приращение ∆x может принимать как поло-

жительные так и отрицательные значения.

Рассмотрим отношение

^{f (ξ + ∆x) − f (ξ)} _.

^∆x

Числитель этого отношения, согласно условию (50), всегда неположителен:

f (ξ + ∆x) − f (ξ) ≤ 0. Поэтому при ∆x > 0 отношение

_{f (ξ + ∆x) − f (ξ)}

_∆x ^{≤ 0}

+

и предел его правая производная также неположителен: f ⁰

(ξ) ≤ 0. Если

∆x < 0, то отношение

_{f (ξ + ∆x) − f (ξ)}

_∆x ^{≥ 0}

_{и предел его левая производная также неотрицателен: f} ⁰

⁻

^{(ξ) ≥ 0.}

+

^{Так как по условию теоремы производная f 0 (ξ) существует, то f 0}

^{(ξ) =}

^{f 0}

₊ ^{(ξ) = 0. Но тогда и f 0}

(ξ) = 0.♠

.

34

Теорема 22. (Ролля) Если функция y = f (x) непрерывная на отрезке [a; b], дифференцируема в интервале (a; b) и имеет на концах интервала равные значения, то внутри этого интервала существует хотя бы одно значение x = ξ, для которого f ⁰ (ξ) = 0.

Доказательство. Если на концах интервала значения функции равны между собой, т. е. f (a) = f (b), то возможны два случая.

1) Внутри интервала функция f (x) = f (a) = f (b), тогда ее производная равна нулю при всех x.

2) Если функция изменяется, то ввиду непрерывности функции на отрез- ке, она принимает свое наибольшее и/или наименьшее значение, причем хотя

^{бы одно из них принимается во внутренней точке интервала (a; b). Действи-}

тельно, если бы наибольшее и наименьшее значение функции достигалось на концах интервала, то функция была бы постоянной.

По условию теоремы функция дифференцируема во всех внутренних точ- ках, следовательно, и в точке, которой достигается наибольшее значение. Тогда по теореме Ферма, производная в этой точке будет равна нулю, что и требова-

лось доказать.♠

Теорема 23. (Лагранжа) Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема в интервале (a; b), то внутри этого интервала суще- ствует хотя бы одно значение x = ξ, для которого

f (b) − f (a) _{= f 0 (ξ) .} b − a

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

F (x) = f (x) − λx,

где

_{λ =} f (b) − f (a) _. b − a

_{Функция F (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:}

1) функция F (x) непрерывна на отрезке [a, b];

2) функция F (x) дифференцируема в интервале (a, b);

3) F (a) = F (b). Действительно,

_{f (b) − f (a)}

35

_{(b − a) f (a) − a (f (b) − f (a))}

^{F (a) = f (a) −}

_{a =}

^{b − a}

₌

^{b − a}

₌ ^{bf (a) − af (a) − af (b) + af (a)}

^{b − a}

и

₌ ^{bf (a) − af (b)}

^{b − a}

F (b) = f (b) −

^{f (b) − f (a)} _{b =}

^{b − a}

^{(b − a) f (b) − b (f (b) − f (a))} ₌

^{b − a}

₌ ^{bf (b) − af (b) − bf (b) + bf (a)}

^{b − a}

₌ bf (a) − af (b) _. b − a

_{Тогда из теоремы Ролля следует, что существует хотя бы одна точка x = ξ}

такая, что

_{f (b) − f (a)}

^{F 0 (ξ) = f 0 (ξ) −}

отсюда получаем формулу Лагранжа:

= 0, b − a

^{f (b) − f (a)} _{= f} ⁰ _{(ξ) .♠ (51)}

^{b − a}

Из формулы (51) можно получить формулу конечных приращений

f (b) − f (a) = f ⁰ (ξ) (b − a) . (52)

Теорема 24. (Коши) Если функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке

[a; b] и дифференцируемы в интервале (a; b), причем g⁰ (x) в этих точках не

обращается в нуль, то внутри этого интервала существует хотя бы одно значение

x = ξ, для которого

^{f (b) − f (a)} ₌ ^{f 0 (ξ)} _.

^{g (b) − g (a)}

^{g0 (ξ)}

Заметим, что g (b)−g (a) = 0, так как в противном случае по теореме Ролля существовала бы точка внутри интервала, в которой производная g⁰ (x) обра-

щалась бы в нуль, что противоречит условию теоремы Коши.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

F (x) = f (x) − λg (x) ,

где

_{λ =} f (b) − f (a) _. g (b) − g (a)

_{Функция F (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:}

1) функция F (x) непрерывна на отрезке [a, b];

2) функция F (x) дифференцируема в интервале (a, b);

36

3) F (a) = F (b). Действительно,

_{f (b) − f (a)}

_{g (b) f (a) − g (a) f (b)}

^{F (a) = f (a) −} _{g (b) − g (a)} ^{g (a) =}

_и

g (b) − g (a)

_{F (b) = f (b) −} ^{f (b) − f (a)} _{g (b) =}

^{g (b) − g (a)}

^{g (b) f (a) − g (a) f (b)} _.

^{g (b) − g (a)}

_{Тогда из теоремы Ролля следует, что существует хотя бы одна точка x = ξ}

такая, что

_{f (b) − f (a)}

отсюда получаем :

^{F 0 (ξ) = f 0 (ξ) −} _{g (b)}

_g⁰ _{(ξ) = 0,}

^{− g (a)}

^{f (b) − f (a)} ₌ ^{f 0 (ξ)} _.

_{g (b) − g (a)}

_g⁰ _(ξ) ^♠

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа для функций, задан- ных параметрически.