1.5. Непрерывность функций в точке, непрерывность
основных элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Точки разрыва и их классификация. Численное решение нелинейных уравнений
Пусть функция f (x) определена на множестве D.
Определение 19 . Любой интервал, содержащий точку x0, называется
окрестностью точки x0 . Интервал (x0 − ε; x0 + ε) называется ε-окрестностью
точки.
Определение 20 . Функция f (x) непрерывна в точке x0, если
1) функция f (x) определена в окрестности точки x0, т. е. существует
значение f (x0);
2) существуют односторонние пределы функции f (x) при x → x0 слева и
справа;
3) выполняется условие
lim
x→x0 −0
f (x) = lim
x→x0 +0
f (x) = f (x0) .
Пусть ∆x = x − x0 приращение аргумента x. Тогда приращением функ-
ции назовем величину
∆y = f (x) − f (x0) = f (x0 + ∆x) − f (x0) .
19
Определение 21 . Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
lim
∆x→0
∆y = 0.
Определение 22 . Функция f (x) непрерывна на множестве D, если функция непрерывна в каждой точке множества D.
Точка, в которой функция является непрерывной, называется точкой непрерывности.
Свойства функций, непрерывных в точке:
1. Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x0, то их сумма
f (x)
(разность) f (x) ± g (x), произведение f (x) g (x) и частное
g (x0) = 0) являются функциями, непрерывными в точке x0.
(при условии
g (x)
2. Если функция f (x) непрерывна в точке x0 и f (x0) > 0, то существует
окрестность точки x0, в которой f (x) > 0.
3. Если функция y = f (u) непрерывна в точке u0, а функция u = ϕ (x)
непрерывна в точке x0 и u0 = ϕ (x0), то сложная функция y = f [ϕ (x)] непре-
рывна в точке x0.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена
на этом отрезке.
2. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает
на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M .
3. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и ее значения на
концах отрезка f (a) и f (b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка
найдется точка ξ ∈ (a; b) такая, что f (ξ) = 0.
4. Если функция y = f (x) непрерывна и строго монотонна на промежутке
ha; bi, то существует обратная функция x = ϕ (x), определенная на промежутке
hf (a) ; f (b)i, причем функция x = ϕ (x) непрерывна и монотонна в промежутке
в этом промежутке.
Точки разрыва и их классификация
Определение 23 . Точка, в которой нарушается непрерывность функции
y = f (x) (т. е. одно из условий определения 20 не выполняется), называется
точкой разрыва этой функции.
Классификация точек разрыва:
1. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции y = f (x), если предел функции y = f (x) при x → x0 существует, но в самой точке x0 функ- ция не определена или значение функции f (x0) в этой точке не равно предель-
ному значению.
20
2. Если существуют односторонние пределы функции y = f (x) при x → x0, но эти пределы не равны между собой
lim
x→x0 −0
f (x) = lim
x→x0 +0
f (x) ,
то точка x0 называется точкой разрыва первого рода.
3. Во всех остальных случаях точки разрыва являются точками разрыва второго рода.
Определение 24 . Функция называется кусочно-непрерывной на отрез- ке,если она имеет на нем только конечное множество точек разрыва, причем все точки разрыва первого рода.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
2.1. Определение производной, основные правила дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной. Производная сложной и обратной функции. Производная параметрической и неявной функции.
Пусть функция y = f (x) определена в некотором интервале (a; b). Зафик- сируем значение x ∈ (a; b) и зададим аргументу x произвольное приращение ∆x такое, что x + ∆x ∈ (a; b).
Определение 25 . Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции ∆y = f (x + ∆x) − f (x) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0 при условии, что этот предел существует.
Производная обозначается символами y0 или f 0 (x).
С учетом введенных обозначений определение производной можно запи-
сать следующим образом:
∆y y0 = lim
или
f 0 (x) = lim
∆x→0
∆x→0 ∆x
f (x + ∆x) − f (x) .
∆x
21
Правая и левая производные
Определение 26 . Правой (левой) производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции ∆y = f (x + ∆x) −f (x) к приращению аргумента ∆x при ∆x, стремящемся к нулю справа (слева), при
условии, что этот предел существует.
Правая и левая производные обозначаются символами f 0 (x + 0) и
f 0 (x − 0).
С учетом введенных обозначений определение правой (левой производ- ной) можно записать следующим образом:
f (x + ∆x) − f (x)
f 0 (x + 0) = lim .
∆x→0+0 ∆x
f 0 (x − 0) = lim
∆x→0−0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
Теорема 11. Функция y = f (x) имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда эта функция имеет в точке x правую и левую производные,
равные между собой.
Механический и геометрический смысл производной
Механический смысл производной. Пусть точка движется прямоли- нейно вдоль оси s: s = f (t) ее координата в момент времени t. Тогда
∆s = f (t + ∆t) − f (t)
путь, пройденный за время ∆t, отношение
∆s = f (t + ∆t) − f (t)
∆t ∆t
представляет собой среднюю скорость точки за время ∆t, а предел (если он
существует)
lim
∆s
= lim
f (t + ∆t) − f (t)
= f 0 (t)
∆t→0 ∆t
∆t→0 ∆t
есть м гновенная скорость точки в момент времени t.
22
Геометрический смысл производной.
y
0 x
Уравнение секущей M0M , проходящей через точки M0 (x0, f (x0)) и
M (x, f (x)) графика функции y = f (x), имеет вид
f (x) − f (x0)
Y = f (x0) +
x − x0
(X − x0) , (22)
где через X и Y обозначены абсцисса и ордината точки на секущей. При x →
x0 угловой коэффициент
f (x) − f (x0)
x − x0
секущей стремится к f 0
(x0). Поэтому
предельное положение секущей определяется уравнением
Y = f (x0) + f 0 (x0) (X − x0) . (23) Прямая, заданная уравнением (23), называется касательной к графику
функции y = f (x) в точке x0. Угловой коэффициент f 0 (x0) касательной равен
тангенсу угла α между касательной и положительным направлением оси Ox:
f 0 (x0) = tg α.
Понятие дифференцируемости функции в данной точке
Пусть функция y = f (x) определена в некотором интервале (a; b). Зафик- сируем значение x ∈ (a; b) и зададим аргументу x произвольное приращение ∆x такое, что x + ∆x ∈ (a; b).
Определение 27 . Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение ∆y этой функции в точке x, соответствующее при- ращению аргумента ∆x, может быть представлено в виде
∆y = A · ∆x + o (∆x) , (24)
где A некоторое число, не зависящее от ∆x.
23
Теорема 12. Функция y = f (x) дифференцируема в данной точке x то- гда и только тогда, когда функция y = f (x) имеет в точке x конечную произ-
водную.
Теорема 13. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x, то она
непрерывна в этой точке.
Правила дифференцирования
Теорема 14. Пусть f (x) и g (x) дифференцируемые функции в точке