1.3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.

Техника вычисления пределов

Пусть y = f (x) функция, определенная на множестве D.

Определение 11 . Число A называется пределом функции y = f (x) при x → a, если для любого положительного числа ε существует положитель- ное число δ = δ (ε) такое, что для всех x ∈ D, удовлетворяющих неравенству

0 < |x − a| < δ, выполняется неравенство |f (x) − A| < ε.

_{Предел функции y = f (x) при x → a обозначается}

_{lim f (x) = A.}

^x→a

9

Для записи определения в символьном виде введем кванторы всеобщно- сти ∀ и существования ∃. Символ ∀ означает "любой", "для всех", символ ∃ "существует".

Используя введенные кванторы, перепишем определение 11 следующим образом

^⇔

_{lim f (x) = A (10)}

^x→a

∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε) .

Дадим определение предела функции y = f (x) в частных случаях.

^{∞ ⇔}

_{lim f (x) = (11)}

^x→a

∀M > 0∃δ = δ (M ) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| > M ) .

_lim

^x→∞

f (x) = A ⇔ (12)

∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 : (∀x ∈ D : |x| > R ⇒ |f (x) − A| < ε) .

_lim

^x→∞

^{f (x) = ∞ ⇔ (13)}

∀M > 0∃R = R (M ) > 0 : (∀x ∈ D : |x| > R ⇒ |f (x)| > M ) .

10

^⇔

_{lim f (x) = A (14)}

^x→0

∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε) .

^⇔

_{lim f (x) = 0 (15)}

^x→a

∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| < ε) .

^⇔

_{lim f (x) = 0 (16)}

^x→0

∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x ∈ D : 0 < |x| < δ ⇒ |f (x)| < ε) .

Пусть функция y = f (x) определена в интервале (a; b).

Определение 12 . Число A называется правосторонним (левосторон- ним) пределом функции y = f (x) при x → a (x → b), если для любого поло- жительного числа ε существует положительное число δ = δ (ε) такое, что для всех x ∈ (a; b), удовлетворяющих условию

0 < x − a < δ (0 < b − x < δ) ,

выполняется неравенство |f (x) − A| < ε.

_{Для правостороннего (левостороннего) предела функции y = f (x) исполь-}

зуются следующие обозначения:

_lim

^x→a+0

f (x) = A (правосторонний предел);

_lim

^x→b−0

11

f (x) = A (левосторонний предел).

Правосторонние и левосторонние пределы называются односторонними

пределами.

Основные теоремы о пределах

Теорема 5. Пусть функции f (x) и g (x) определены на множестве D, и пусть существуют пределы этих функций при x → a: lim f (x) = b, lim g (x) = c.

^x→a

^x→a

_{f (x)}

^{Тогда существуют пределы при x → a функций f (x) ± g (x), f (x) · g (x),}

_{g (x)}

^{(в последнем случае предполагается, что g (x) = 0 при x ∈ D и c = 0), при этом}

выполняются равенства:

_{a) lim (f (x) ± g (x)) = lim f (x) ± lim g (x) = b ± c;}

x→a

x→a

x→a

_{b) lim f (x) · g (x) = lim f (x) · lim g (x) = b · c;}

x→a

_{c) lim}

f (x)

x→a

^{lim f (x)} _b

₌ ^x→a _{= .}

x→a

^{x→a g (x)}

lim g (x) c

^x→a

_{d) lim c = c, где c = const.}

^x→a

Теорема 6. Пусть функции f (x), g (x) и h (x) определены на множестве

D. Тогда

_{a) если f (x) ≤ g (x) при x ∈ D и существуют пределы lim f (x), lim g (x),}

то

_{lim f (x) ≤ lim g (x) ;}

x→a

x→a

x→a

x→a

x a

_{b) если f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) при x ∈ D и существуют пределы lim f (x),}

→

_{lim h (x), причем lim f (x) = lim h (x) = b, то существует предел lim g (x) и}

x→a

x→a

x→a

_{lim f (x) = lim g (x) = lim h (x) = b.}

x→a

x→a

x→a

x→a

Теорема 7. Функция f (x), определенная на множестве D, имеет предел

^∈

_{lim f (x) = A (a D) тогда и только тогда, когда существуют правосторонний и}

^x→a

_{левосторонний пределы lim}

^x→a+0

_{f (x), lim}

^x→a−0

^{f (x) и эти пределы равны A.}

Теорема 8. Функция y = f (x), имеющая предел при x → a, ограничена в

некоторой окрестности точки a.

_{Теорема 9. Пусть существует предел функции f (x) при x → a}

_{lim f (x) = A}

^x→a

и функция f (x) ограничена в некоторой окрестности точки a

M < f (x) < N.

Тогда

12

M ≤ A ≤ N.

⁻

Теорема 10. Положительная функция имеет неотрицательный предел.

Техника вычисления пределов

_x² _{− x}

_{П р и м е р 5. Вычислить lim}

^x→3

_.

^{x + 2}

^{Решение.}

_lim

^x→3

_x² _x

₌

^{x + 2}

⁻

₃² _{3 6}

_{= .}

^{3 + 2 5}

⁻

_{П р и м е р 6. Вычислить lim}

^x→1

_x² _x

_.

^{x + 2}

^{Решение.}

⁻

_lim

^x→1

_x² _x

₌

^{x + 2}

1² − 1

1 + 2

₀

_{= = 0.}

³

_{П р и м е р 7. Вычислить lim}

^x→−2

_x² _x

⁻

_.

^{x + 2}

^{Решение.}

_lim

^x→−2

⁻

_x² _x

₌

^{x + 2}

2

(−2) − (−2)

⁻

_{−2 + 2}

₆

⁼ ₀ ^{= ∞.}

_{П р и м е р 8. Вычислить lim}

^x→∞

_x^{2 √}_{x + 2}

_.

^{2 − 4x2}

^{Решение.}

_lim

^x→∞

x² − ^√x + 2

2 − 4x²

_{= ∞ =}

∞

_x2

_{x 2}

_{1 − 1 + 2}

= lim

_{x2 − x2 + x2 = lim}

_{x 2 x =}

_{x→∞ 2}

_4x²

³ 2

_{x→∞ 2 4}

_x^{2 −} _x²

_{1 − 0 + 0 1}

_x^{2 −}

⁻

_{= = .}

^{0 − 4 4}

⁻

_{П р и м е р 9. Вычислить lim}

^x→3

_x³ ₂₇

_.

^{x2 − 9}

^{Решение.}

⁻

x³ 27 lim

₀

_{= =}

^x→3

^{x2 − 9}

⁰

_{= lim}

^x→3

(x − 3) x² + 3x + 9

^·

_{(x − 3) (x + 3)}

_{= lim}

^x→3

_x² _{+ 3x + 9}

₌

^{x + 3}

_{= lim}

^x→3

₃² _{+ 3 3 + 9 27 9}

_{= = .}

^{3 + 3 6 2}

13

1.4. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, эквивалентные величины. Вычисление пределов с помощью

эквивалентностей

Первый замечательный предел

_lim

^x→0

sin x

x

= 1. (17)

Доказательство. Пусть x > 0. Рассмотрим треугольник 4OAB, сектор

OAB и треугольник 4OAC.

C

B

0 A

_или

На рисунке видно, что

^S4OAB ^{≤ S}OAB ^{≤ S}4OAC

^≤

¹ _R² _{sin x}

²

¹ _R²_x

^≤

²

¹ _R² _{tg x, (18)}

²

где R радиус окружности, x величина угла ∠AOB.

_{Так как x > 0, то sin x > 0. Разделив неравенство (18) на}

¹ _R² _{sin x, получим}

²

_{x 1}

или

^{1 ≤} _{sin x} ^≤ _{cos x}

_{sin x}

^{cos x ≤}

_x ^{≤ 1.}

14

_{Так как lim cos x = lim 1 = 1, то из теоремы 6(b) следует, что}

x→0

x→0

_lim

^x→0

sin x x

= 1.

_{Если x < 0, то sin x < 0. Тогда}

Так как −x > 0, то

_{sin x}

₌

^x

^{− sin x} ₌

^−x

^{sin (−x)} _.

^−x

_lim

^x→0

^{sin x}

x

_{= lim}

^x→0

^{sin (−x)}

−x

= 1.

_{Следствия из первого замечательного предела.}

_{arcsin x}

_{1) lim}

^x→0

_x

_{tg x}

^{= 1;}

_{2) lim}

_x→0

_{= 1;}

_x

_{3) lim}

^x→0

^{arctg x}

x

= 1.

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел имеет три формы:

_{1) при x → ∞}

2) при x → 0

_lim

^x→∞

₁ ^x

_{1 +}

^x

= e; (19)

3) при x → x₀ α (x) → 0

₁

lim (1 + x) ^x = e; (20)

^x→0

_lim

^α(x)→0

_{(1 + α (x))}^α(x) _{= e. (21)}

Следствия из второго замечательного предела.

_{ln (1 + x)}

_{1) lim}

^x→0

_{= 1;}

_x

_{2) lim}

^x→0

_{3) lim}

^x→0

^log_a ^{(1 + x)}

⁻

x e^x 1

_{= 1;}

_x

_a^x _{− 1}

₁

_{= ;}

^{ln a}

_{4) lim}

^x→0

_{= ln a.}

^x

15

Бесконечно малые величины

Определение 13 . Функция α (x) называется бесконечно малой величи- ной при x → a, если ее предел равен нулю:

_{lim α (x) = 0.}

^x→a

Если

_{lim f (x) = A,}

^x→a

_{то f (x) − A есть бесконечно малая величина, т. е. функцию f (x) можно пред-}

ставить в виде

f (x) = A + α (x) ,

где α (x) бесконечно малая величина при x → a.

Свойства бесконечно малых величин:

1. Если α (x) и β (x) бесконечно малые величины при x → a, то α (x)±β (x)

является бесконечно малой величиной при x → a.

2. Если α (x) и β (x) бесконечно малые величины при x → a, то α (x) β (x)

является бесконечно малой величиной при x → a.

3. Произведение бесконечно малой величины при x → a и ограниченной

функции в окрестности точки a есть бесконечно малая величина при x → a.

_{Определение 14 . Две бесконечно малые величины α (x) и β (x) при}

x → a имеют одинаковый порядок, если их отношение имеет конечный предел,

отличный от нуля, т. е.

_lim

^{β (x)}

_{= k = 0.}

^{x→a α (x)}

Определение 15 . Порядок бесконечно малой величины β (x) выше по- рядка бесконечно малой величины α (x) при x → a имеют одинаковый порядок,

_если

_lim

^{β (x)}

_{= 0.}

^{x→a α (x)}

_{Обозначение: β (x) = o (α (x)) при x → a.}

Определение 16 . Бесконечно малая величина β (x) имеет порядок n от- носительно бесконечно малой величины α (x) при x → a имеют одинаковый по-

рядок, если

_lim

^{β (x)}

_{= k = 0.}

^{x→a αn (x)}

_{Обозначение: β (x) = O (α (x)) при x → a.}

16

Бесконечно большие величины

Определение 17 . Функция f (x) называется бесконечно большой вели- чиной при x → a, если ее предел равен бесконечности:

^∞

_{lim f (x) = .}

^x→a

Свойства бесконечно больших величин:

1. Если f (x) и g (x) бесконечно большие величины при x → a, то f (x) +

g (x) является бесконечно большой величиной при x → a.

2. Если f (x) и g (x) бесконечно большие величины при x → a, то f (x) g (x)

является бесконечно большой величиной при x → a.

Эквивалентные функции

Определение 18 . Функции α (x) и β (x) называются эквивалентными

при x → a, если предел отношения этих функций при x → a равен 1:

_{α (x)}

_lim

^{x→a β (x)}

^{= 1.}

Обозначение: α (x) ∼ β (x) при x → a.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при x → 0:

sin α ∼ α, tg α ∼ α, arcsin α ∼ α, arctg α ∼ α,

_α²

^{1 − cos α ∼} ₂ ^,

e^α − 1 ∼ α,

a^α − 1 ∼ α ln a,

ln (1 + α) ∼ α, α

^{loga (1 + α) ∼} _{ln a} ^,

(1 + α)ⁿ − 1 ∼ nα,

ⁿ

^√n _{1 + α − 1 ∼} ^α _,

²

^√_{1 + α − 1 ∼} ^α _.

17

Вычисление пределов с помощью эквивалентностей

Иногда при вычислении пределов бывает удобно заменить функцию на эквивалентную ей. Рассмотрим следующие примеры.

_{sin x}² _{− x}

_{П р и м е р 10. Вычислить lim}

^x→1

x² − 1

^.

₀

^{Решение. При x → 1 имеем неопределенность} ₀ ^:

_lim

^x→1

_{sin x}² _{− x}

_x² _{− 1}

₀

_{= .}

⁰

_{Так как при x → 1 аргумент синуса x}² _{− x → 0, то}

sin x² − x ∼ x² − x.

Тогда, заменив функцию sin x² − x на эквивалентную ей функцию x² − x, по- лучим

_lim

_{sin x}² _{− x}

⁻

_{= lim}

_x² _x

₌

_x→1

^{x2 − 1}

^{x→1 x2 − 1}

_{= lim} ^{x (x − 1)}

_x

_{= lim =}

^{x→1 (x − 1) (x + 1)}

^{x→1 x + 1}

_{1 1}

_{= = .}

^{1 + 1 2}

_{П р и м е р 11. Вычислить lim}

^x→0

^√3 _{1 + x}2 _{− 1}

_x³ _{+ x}^{2 .}

₀

^{Решение. При x → 0 имеем неопределенность} ₀ ^:

_lim

^x→0

^√3 _{1 + x}² _{− 1}

x³ + x²

₀

_{= .}

⁰

_{Так как при x → 0 функция}

^√3 _{1 + x2 − 1 эквивалентна функции}

_x²

_{, то}

_lim

^√3 1 + x² − 1

_{= lim}

³

x ²

³ ₌

_x→0

^{x3 + x2}

^{x→0 x3 + x2}

_x²

_{= lim}

₁

_{= lim =}

^{x→0 3x2 (x + 1)}

^{x→0 3 (x + 1)}

_{1 1}

_{= = .}

^{3 (0 + 1) 3}

_{П р и м е р 12. Вычислить lim}

^x→0

18

_{ln 1 − 5 sin}² _x

_x^{2 .}

Решение. При x → 0 имеем неопределенность

₀

_:

⁰

_lim

^x→0

_{ln 1 + −5 sin}² _x

_x²

₀

_{= .}

⁰

_{Так как при x → 0 функция −5 sin}² _{x → 0, то}

ln 1 + −5 sin² x ∼ −5 sin² x

и

_lim

^x→0

ln 1 + −5 sin² x

_x²

_{= lim}

^x→0

_{−5 sin}² _x

_x^{2 =}

₂

_{= lim} ^−5x

_{= lim (−5) = −5.}

^{x→0 x2}

_x→0