2.5. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя, формулы Тейлора

Правило Лопиталя

Теорема 25. Пусть функции f (x) и g (x) при x → x₀ (или x → ∞) сов- местно стремятся к нулю или к бесконечности. Если существует при x → x₀

предел (конечный или бесконечный) отношения производных этих функций, то существует предел отношения самих этих функций при x → x₀ и

_lim

f (x)

_{= lim}

f ⁰ (x)

_{. (53)}

^{x→x0 g (x)}

^{x→x0 g0 (x)}

₀

Раскрытие неопределенностей вида

_{sin 5x}

_, ^∞

^{0 ∞}

_{П р и м е р 17. Вычислить lim .}

^x→0 3x

^{Решение.}

_lim

^x→0

sin 5x

3x

₀

_{= =}

⁰

_{= |по правилу Лопиталя| =}

_{= lim}

^x→0

_{(sin 5x)}⁰

_(3x)⁰

_{= lim}

^x→0

_{5 cos 5x}

₌

³

_{5 cos 0 5}

_{= .}

^{3 3}

37

_e^x

_{П р и м е р 18. Вычислить lim .}

Решение.

_lim

x→∞

_e^x

₌

^x

^∞ ₌

^{x→∞ x ∞}

_{= |по правилу Лопиталя| =}

_{= lim}

^x→∞

(e^x)⁰

_(x)⁰

_{= lim}

^x→∞

_e^x

₁ ^{= ∞.}

_{Раскрытие неопределенностей вида (0 · ∞), (∞ − ∞)}

_{П р и м е р 19. Вычислить lim x ln x.}

^x→0

Решение.

^{· ∞}

_{lim x ln x = (0 ) =}

^x→0

_{= lim}

^x→0

_{ln x}

1

x

₌ ^∞ ₌

∞

_{= |по правилу Лопиталя| =}

_{= lim}

_{(ln x)}⁰

_{1 0 = lim}

1

x

₁

_{= lim (−x) = 0.}

^x→0 _x

^{x→0 −} _x²

_x

x→0

₁

_{П р и м е р 20. Вычислить lim}

^x→1

_{x − 1} ⁻

_.

^{ln x}

Решение.

_lim

^x→1

_x

_{x − 1} ⁻

1 ln x

= (∞ − ∞) =

_{= lim}

^x→1

x ln x − x + 1 (x − 1) ln x

₀

_{= =}

⁰

⁻

_{= |по правилу Лопиталя| =}

_{= lim}

(x ln x − x + 1)⁰

_{= lim}

_x⁰ _{ln x + x (ln x)}⁰ _{1 + 0}

₌

x→1

^{((x − 1) ln x)0}

^{x→1 (x − 1)0 ln x + (x − 1) (ln x)0}

x

_{= lim}

_{ln x + x ·} ¹ _{− 1}

_{= lim}

ln x

x

₀

_{= =}

x

^x→1 ln x + (x − 1) · ¹

^x→1 ln x + ^{x− 1 0}

x

_{(ln x)}⁰

= |по правилу Лопиталя| =

1

_x

1

_x

_{= lim ln x + x− 1 0 = lim}

_{= lim}

⁺

(x−1)⁰ x−(x−1)x⁰ 1

_{x−(x−1) =}

1

_x ⁺

^x→1

^x→1

x²

_{1 1}

^x→1

x x²

_{= lim x = 1 =} ¹ _.

_{x→1 1 1}

_{1 1 2}

_x ⁺ _x²

₁ ⁺ ₁²

38

Раскрытие неопределенностей вида 0⁰ , (1)^∞, ∞⁰

Неопределенности вида 0⁰ , (1)^∞, ∞⁰ сводятся к условию теоремы Ло- питаля логарифмированием.

_{П р и м е р 21. Вычислить lim x}^x_.

x→0

_{Решение. Обозначим lim x}^x _{через A. Тогда}

^x→0

_{ln A = ln lim x}^x _{= lim ln x}^x _{= lim x ln x = (0 · ∞) =}

x→0

x→0

_{ln x}

x→0

_∞

_{= lim}

^x→0

_{(ln x)}⁰

₁ ^{= =}

_x ^∞

1

_x

_{= lim}

_{1 0 = lim}

_{1 = lim (−x) = 0.}

^x→0 _x

^{x→0 −} _x²

x→0

Таким образом, мы получаем уравнение относительно неизвестного предела A:

_{ln A = 0.}

Отсюда т. е.

A = 1,

_{lim x}^x _{= 1.}

^x→0

₁

_{П р и м е р 22. Вычислить lim (cos x)} ^x _.

^x→0

₁

Решение. Обозначим lim (cos x) ^x через A. Тогда

^x→0

x

_{ln A = ln lim (cos x) 1 = lim ln (cos x) 1 = lim 1 ln (cos x) = (}

_{0) =}

x→0

x

_x→0

x→0 _x ^{∞ ·}

_{= lim}

^x→0

_{(ln x)}0

_{ln (cos x)}

x

1

₀

_{= =}

⁰

_{= lim}

_{1 0 = lim}

x

₁

_{= lim (−x) = 0.}

^x→0 _x

^{x→0 −} _x²

x→0

Таким образом, мы получаем уравнение относительно неизвестного предела A:

_{ln A = 0.}

Отсюда т. е.

A = 1,

_{lim x}^x _{= 1.}

^x→0

39

Формула Тейлора

Предположим, что функция y = f (x) имеет непрерывные производные до (n + 1) −го порядка включительно в некотором промежутке (a; b), содержащим точку x₀. Найдем многочлен y = P_n (x) степени не выше n, значение которого в точке x₀ равняется значению функции f (x) в этой точке, а значение его производных до n−го порядка включительно в точке x₀ равняется значению соответствующих производных от функции f (x) в этой точке:

P_n (x₀) = f (x₀) ,

^{P 0}

_n ^(x₀^{) = f}

00

^P_n ^(x₀^{) = f}

⁰ (x₀) ,

⁰⁰ (x₀) , (54)

. . . . . . . . . . . . . . . ,

P ⁽ⁿ⁾

_n (x₀) = f ⁽ⁿ⁾ (x₀) .

Будем искать этот многочлен в виде многочлена по степеням (x − x₀) с неопре- деленными коэффициентами a₀, a₁, . . ., a_n.

2

P_n (x) = a₀ + a₁ (x − x₀) + a₂ (x − x₀)

+ . . . + a_n (x − x₀)ⁿ

_{. (55)}

^{Неопределенные коэффициенты a}₀^{, a}₁^{, . . ., a}_n ^{определим так, чтобы выполня-}

^{лись условия (54). Предварительно найдем производные многочлена P}_n ^(x):

^{P 0}

2

_n ^{(x) = a}₁ ^{+ 2a}₂ ^{(x − x}₀^{) + 3a}₃ ^{(x − x}₀⁾

_{P 00}

+ . . . + na_n (x − x₀)

_n−2

ⁿ⁻¹ _;

_n ^{(x) = 2a}2 ^{+ 2 · 3a}3 ^{(x − x}0^{) + . . . + (n − 1) na}n ^{(x − x}0^{) ;}

^{P 000}

_n ^{(x) = 2 · 3a}₃ ^{+ . . . + (n − 2) (n − 1) na}_n ^{(x − x}₀⁾

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

P ⁽ⁿ⁾

_n ^{(x) = 1 · 2 · . . . (n − 2) (n − 1) na}_n^.

Подставляя в формулы (55) и (56) x₀ вместо x, получим

P_n (x₀) = a₀;

^{P 0}

_n ^(x₀^{) = a}₁^;

^{P 00}

_n ^(x₀^{) = 2!a}₂^;

_{P 000}

n−3

; (56)

Учитывая (54) и (57), имеем

_n ^(x0^{) = 3!a}3^{; (57)}

. . . . . . . . . . . . ;

P ⁽ⁿ⁾

_n ^(x₀^{) = n!a}_n^.

f (x₀) = a₀, f ⁰ (x₀) = a₁,

40

f ⁰⁰ (x₀) = 2!a₂, f ⁰⁰⁰ (x₀) = 3!a₃,

. . . . . . . . . . . . . . . , f ⁽ⁿ⁾ (x₀) = n!a_n

или

^a₀ ^{= f (x}₀^{) ,}

_f ⁰ _(x0)

^a₁ ⁼

a₂ =

a₃ =

_,

^1!

^{f 00 (x0)} _,

^2!

^{f 000 (x0)} _{, (58)}

_3!

^{. . . . . . . . . . . . . . . ,}

_f ⁽ⁿ⁾ _(x0)

^{an =} _n! ^.

Подставляя найденные значения коэффициентов a₀, a₁, . . ., a_n в формулу (55), получим искомый многочлен

P_n (x) = f (x₀) +

^{f 0 (x0)} _{(x x ) +}

⁻ 0

^1!

^{f 00 (x0)} _{(x x )}²

⁻ 0

^2!

+ . . . +

_f ⁽ⁿ⁾ _(x0)

⁻ 0

n

_{(x x )}

^n!

. (59)

Обозначим через R_n (x) разность значений данной функции f (x) и построен- ного многочлена P_n (x):

^R_n ^{(x) = f (x) − P}_n ^{(x) .}

Используя теорему Ролля можно доказать, что

R_n (x) =

_f ⁽ⁿ⁺¹⁾ _(ξ)

⁻ 0

(x x ) (n + 1)!

n+1 _,

^(R_n ^{(x) называется остаточным членом в форме Лагранжа).}

Таким образом, формула Тейлора n−го порядка с остаточным членом в

форме Лагранжа имеет вид

f (x) = f (x₀) +

^{f 0 (x0)} _{(x x ) +}

^1!

^{f 00 (x0)} _{(x x )}²

⁻ 0

⁻ 0

^2!

+ . . . +

_f ⁽ⁿ⁾ _(x0)

⁻ 0

n

_{(x x ) +}

^n!

_f ⁽ⁿ⁺¹⁾ _(ξ)

₊

^{(n + 1)!}

(x − x₀)ⁿ⁺¹ .