2.3. Производные высших порядков. Производные высших порядков неявных функций или функций, заданных параметрически.

Формула Лейбница

Пусть функция y = f (x), определенная в интервале (a; b), имеет произ- водную f ⁰ (x) в этом интервале. Производная от f ⁰ (x) (если она существует) называется производной второго порядка от функции y = f (x) и обозначается f ⁰⁰ (x) или f ⁽²⁾ (x):

_f ⁰⁰ _{(x) = [f} ⁰ _{(x)] = lim}

^∆x→0

^{f 0 (x + ∆x) − f 0 (x)} _.

^∆x

Таким образом, производной третьего порядка или третьей производной от функции y = f (x) называется производная от производной второго порядка f ⁰⁰ (x).

Определение 30 . Производной n - го порядка f ⁽ⁿ⁾ (x) называется про- изводная от производной (n − 1) −го порядка:

_f ⁽ⁿ⁾ _{(x) =} ^h_f ⁽ⁿ⁻¹⁾ _(x)ⁱ⁰ _{= lim}

^∆x→0

_f ⁽ⁿ⁻¹⁾

_{(x + ∆x) − f}

∆x

_(n−1)

_(x)

^.

Физический смысл производной второго порядка скорость изменения скорости или ускорение прямолинейно движущейся материальной точки, коор-

^{дината которой в момент времени x равна f (x).}

Производные высших порядков неявных функций или функций, заданных параметрически

П р и м е р 14. Найти производную второго порядка функции y = f (x), заданной неявно уравнением

x² + y² − a² = 0. (42)

Решение. Вычислим производную первого порядка функции y = (x), опре- деляемой уравнением (42). Для этого продифференцируем равенство (42):

_{2x + 2yy}⁰ _{= 0.}

Отсюда

_x

^{y0 = −} _y ^{. (43)}

Продифференцируем равенство (43):

_x ⁰

_{y − xy0}

_{xy0 − y}

⁻

_(y⁰₎⁰ ₌

^y

^{= −} _y²

⁼ _y^{2 .}

30

Пусть дана параметрически заданная функция

x = ϕ (t) , y = ψ (t) , t ∈ [t₁; t₂]. (44) Производная функции (44) имеет вид

или

_x ⁼

ψ⁰ (t) _y0 ϕ⁰ (t)

_y0

_{y0 t}

x

Так как функция y⁰

_x ⁼ ₀ ^.

^x

^t

является функцией, заданной параметрически с независи-

^{мым аргументом x = ϕ (t), t ∈ [t}₁^{; t}₂^{], то}

ψ⁰ (t) ⁰

_{ϕ0 (t)}

_или

xx ⁼

^t ₍₄₅₎

^y00

^{ϕ0 (t)}

где x = ϕ (t), t ∈ [t₁; t₂].

^y00

xx ⁼

^{ψ00 (t) ϕ0 (t) − ψ0 (t) ϕ00 (t)}

_(ϕ⁰ _(t))³

, (46)

Рассуждая аналогично, получаем третью производную функции, задан- ной параметрически

_{(y00 0}

^y000

xxx ⁼

^xx)t _.

⁰

^x

^t

xx

_{П р и м е р 15. Найти вторую производную y}⁰⁰

функции, заданной па-

раметрически

x = a cos t, y = b sin t, (0 ≤ t ≤ π) .

Решение. Найдем первую производную:

_{(b sin t)}⁰

_y0

_{b cos t b}

^{x = (a cos t)0 = −a sin t = − a ctg t.}

xx

Найдем вторую производную y⁰⁰

. По формуле (45) получаем

_b ⁰ ₁

_{− a ctg t b − b}

_{y00 t}

_{sin2 t}

где x = a cos t.

_xx ⁼

_{= = ,}

^{− · −}

^{(a cos t)0 a −a sin t a2 sin3 t}

31

Формула Лейбница

Формула Лейбница применяется для вычисления производной n−го по- рядка от произведения функций.

_{Теорема 20. (Формула Лейбница) Пусть y = u (x) v (x), где u (x) и v (x)}

⁻

функции, дифференцируемые до n−го порядка включительно. Тогда

_y⁽ⁿ⁾ _{= (uv)}⁽ⁿ⁾ _{= u}⁽ⁿ⁾_{v + nu}⁽ⁿ⁻¹⁾_v⁰ ₊ ^{n (n − 1)} _u⁽ⁿ⁻²⁾_v⁰⁰ _{+ . . . + nu}⁰_v⁽ⁿ⁻¹⁾ _{+ uv}⁽ⁿ⁾_{. (47)}

^2!

Доказательство. Доказательство проводим по индукции.

1 шаг: показать, что при n = 1 формула (47) верна. Если n = 2,то

y⁽¹⁾ = y⁰ = (uv)⁰ = u⁰v + uv⁰.

2 шаг: предположим, что для n = k формула (47) верна, т. е.

_y^(k) _{= (uv)}^(k) _{= u}^(k)_{v + ku}^(k−1)_v⁰ ₊ ^{k (k − 1)} _u^(k−2)_v⁰⁰ _{+ . . . + ku}⁰_v^(k−1) _{+ uv}^(k)_.

^2!

3 шаг: докажем, что формула (47) верна для n = k + 1.

_{Так как y}^(k+1) _{= y}^{(k) 0}_{, то}

_{y(k) 0 = u(k)v 0 + ku(k−1)v0 0 + k (k − 1) u(k−2)v00}

2!

_{+ ku}⁰_v^{(k−1) 0} _{+ uv}^{(k) 0} ₌

0

+ . . . +

_{= u}^(k+1)_{v + u}^(k)_v⁰ _{+ ku}^(k)_v⁰ _{+ ku}^(k−1)_v⁰⁰ ₊ ^{k (k − 1)} _u^(k−1)_v⁰⁰ ₊

^2!

₊ ^{k (k − 1)}

^2!

_u(k−2)_v000 _{+ . . . + ku}00_v(k−1) _{+ ku}0_v(k) _{+ u}0_v(k) _{+ uv}(k+1) ₌

= u^(k+1)v + (1 + k) u^(k)v⁰ +

_{+ (k + 1) u}⁰_v^(k) _{+ uv}^(k+1) ₌

_{k (k 1)}

_{k +}

^2!

_u(k−1)_v00 _{+ . . . +}

_{= u}^(k+1)_{v + (1 + k) u}^(k)_v⁰ ₊ ^{(k + 1) k} _u^(k−1)_v⁰⁰ _{+ . . . + (k + 1) u}⁰_v^(k) _{+ uv}^(k+1)_,

^2!

_{что и требовалось доказать.♠}

_{П р и м е р 16. Найти сотую производную функции y = x}² _{sin x.}

32

Решение. Пусть u = sin x и v = x².

u⁰ = cos x, v⁰ = 2x, u⁰⁰ = − sin x, v⁰⁰ = 2, u⁰⁰⁰ = − cos x, v⁰⁰⁰ = 0,

u⁽⁴⁾ = sin x, v^(l) ≡ 0, где l = 4, 5, . . . , u⁽⁵⁾ = cos x,

u^(4k) = sin x, где k = 0, 1, . . . , u^(4k+1) = cos x, где k = 0, 1, . . . , u^(4k+2) = − sin x, где k = 0, 1, . . . , u^(4k+3) = − cos x, где k = 0, 1, . . . .

Таким образом, по формуле Лейбница (47) получаем

_y⁽¹⁰⁰⁾ _{= u}⁽¹⁰⁰⁾_{v + 100u}⁽⁹⁹⁾_v⁰ ₊ ^{100 · 99} _u⁽⁹⁸⁾_v⁰⁰ ₌

^2!

^2!

_{= sin x · x}² _{+ 100 (− cos x) · 2x +} ^{100 · 99} _{(− sin x) · 2 =}

= x² sin x − 200x cos x − 9900 sin x.

Дифференциалы высших порядков

Определение 31 . Дифференциалом n−го порядка dⁿy функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала (n − 1) −го порядка как функ- ции, зависящей от x:

_dⁿ_{y = d d}ⁿ⁻¹_{y . (48)}

Из определения следует, что дифференциал n−го порядка dⁿy функции y = f (x) равен произведению производной n−го порядка функции y = f (x) на n−ю степень дифференциала независимой переменной, т. е.

dⁿy = f ⁽ⁿ⁾d xⁿ. (49)